자연계열 1번

문제 1-A(1) 처음 꺼낸 흰 공의 개수를 $\displaystyle a$, 추가로 꺼낸 흰 공의 개수를 $\displaystyle b$라 할 때, 주머니에서 상자로 옮겨진 흰 공의 전체 개수 $\displaystyle X$는 $\displaystyle a+b$이다. 이때, 추가로 꺼낸 흰 공의 개수는 처음 꺼낸 흰 공의 개수보다 많을 수 없으므로 $\displaystyle b\le a$이다. 따라서 $\displaystyle a+b=2$이고 $\displaystyle b\le a$인 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (1,1)$과 $\displaystyle (2,0)$ 두 가지 뿐이다.$\displaystyle (a,b)=(1,1)$인 경우: $\displaystyle a=1$인 사건을 $\displaystyle A$, $\displaystyle b=1$인 사건을 $\displaystyle B$라 할 때$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B\mid A)=\frac{{}_{3}\mathrm C_1{}_{3}\mathrm C_1}{{}_{6}\mathrm C_2}\cdot\frac{{}_{2}\mathrm C_1}{{}_{4}\mathrm C_1}=\frac3{10}$이다.$\displaystyle (a,b)=(2,0)$인 경우: $\displaystyle a=2$인 사건을 $\displaystyle A$, $\displaystyle b=0$인 사건을 $\displaystyle B$라 할 때$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B\mid A)=\frac{{}_{3}\mathrm C_2}{{}_{6}\mathrm C_2}\cdot\frac{{}_{3}\mathrm C_2}{{}_{4}\mathrm C_2}=\frac1{10}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm P(X=2)=\frac3{10}+\frac1{10}=\frac25$이다.

(2) 가능한 $\displaystyle (a,b)$의 조합의 경우와 그 확률을 각각 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle X=a+b$이므로 $\displaystyle X$의 확률분포는 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle X$의 평균은$\displaystyle \mathrm E(X)=1\cdot\frac3{10}+2\cdot\frac25+3\cdot\frac1{10}=\frac75$이고, $\displaystyle X^2$의 평균은$\displaystyle \mathrm E(X^2)=1\cdot\frac3{10}+4\cdot\frac25+9\cdot\frac1{10}=\frac{14}5$이므로, 구하는 $\displaystyle X$의 분산은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-(\mathrm E(X))^2=\frac{14}5-\frac{49}{25}=\frac{21}{25}$

문제 1-B(1) 세 점 $\displaystyle \mathrm P,Q,R$를 지나는 평면을 평면 $\displaystyle \alpha$라 할 때, 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$의 네 면은 각각 $\displaystyle xy$평면, $\displaystyle yz$평면, $\displaystyle zx$평면 및 평면 $\displaystyle \alpha$에 포함되어 있다. 그러므로 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$에 포함되는 가장 큰 구 $\displaystyle S_1$은 $\displaystyle xy$평면, $\displaystyle yz$평면, $\displaystyle zx$평면 및 평면 $\displaystyle \alpha$에 모두 접하고, 중심이 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$ 내부에 있는 구이다.구 $\displaystyle S_1$의 반지름의 길이를 $\displaystyle r_1$, 중심을 $\displaystyle (a,b,c)$라 하자. $\displaystyle S_1$은 $\displaystyle xy$평면, $\displaystyle yz$평면, $\displaystyle zx$평면에 모두 접하고 중심이 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$ 내부에 있으므로$\displaystyle r_1=a=b=c$이다. 또한 $\displaystyle S_1$은 평면 $\displaystyle \alpha$와 접한다. 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은$\displaystyle x+\frac12y+\frac13z=1$ 또는 $\displaystyle 6x+3y+2z=6$$\displaystyle r_1=\frac{|6a+3b+2c-6|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{|11r_1-6|}7$ 이고$\displaystyle 7r_1=-(11r_1-6)$ 또는 $\displaystyle 7r_1=11r_1-6$이다.그러므로 $\displaystyle r_1=\frac13$ 또는 $\displaystyle r_1=\frac32$이다.평면 $\displaystyle \alpha$와 직선 $\displaystyle x=y=z$의 교점은 $\displaystyle \mathrm B\left(\frac6{11},\frac6{11},\frac6{11}\right)$이다. 구 $\displaystyle S_1$의 중심 $\displaystyle (r_1,r_1,r_1)$이 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$ 내부에 있으려면, 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$ 위에 있어야 한다. $\displaystyle r_1=\frac13$이면 중심 $\displaystyle \left(\frac13,\frac13,\frac13\right)$이 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$ 위에 있고, $\displaystyle r_1=\frac32$인 경우에는 중심 $\displaystyle \left(\frac32,\frac32,\frac32\right)$이 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$ 위에 있지 않으므로 $\displaystyle r_1=\frac13$이다.

(2) 점 $\displaystyle \mathrm A\left(\frac12,\frac13,1\right)$은 $\displaystyle x$좌표, $\displaystyle y$좌표, $\displaystyle z$좌표가 모두 양수이고, 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식 $\displaystyle 6x+3y+2z=6$을 만족하므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$에 놓여 있다. 구 $\displaystyle S_2$는 점 $\displaystyle \mathrm A$에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 접해야하므로, $\displaystyle S_2$의 중심 $\displaystyle \mathrm C(a,b,c)$는 점 $\displaystyle \mathrm A$를 지나고 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle \vec n=(6,3,2)$에 평행인 직선 위에 놓인다. 그러므로$\displaystyle \mathrm C(a,b,c)=\left(\frac12,\frac13,1\right)-t(6,3,2)=\left(\frac12-6t,\frac13-3t,1-2t\right)$　(단, $\displaystyle t\ge0$인 상수)로 표현된다. 이때 구 $\displaystyle S_2$의 반지름의 길이는 $\displaystyle r_2=\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{(-6t)^2+(-3t)^2+(-2t)^2}=7t$ 이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$를 제외한 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$의 세 면은 각각 $\displaystyle xy$평면, $\displaystyle yz$평면, $\displaystyle zx$평면에 포함되어 있으므로, 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$에 포함되는 가장 큰 구 $\displaystyle S_2$는 $\displaystyle xy$평면, $\displaystyle yz$평면, $\displaystyle zx$평면중 적어도 하나의 평면과 접해야 한다. 중심 $\displaystyle \mathrm C(a,b,c)$과 $\displaystyle xy$평면, $\displaystyle yz$평면, $\displaystyle zx$평면 사이의 거리를 각각 $\displaystyle d_1,d_2,d_3$라 하면, 반지름의 길이가 $\displaystyle d_1,d_2,d_3$ 중 하나와 같아야 한다. 이를 $\displaystyle t$에 대한 식으로 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}r_2=d_2:\quad7t&=\frac12-6t,\quad\text{즉}\ t=\frac1{26}\\r_2=d_3:\quad7t&=\frac13-3t,\quad\text{즉}\ t=\frac1{30}\\r_2=d_1:\quad7t&=1-2t,\quad\text{즉}\ t=\frac19\end{aligned}$위의 세 가지 경우 중에서 반지름이 가장 작은 경우에 구 $\displaystyle S_2$가 입체도형 $\displaystyle \mathrm T$에 포함되므로, $\displaystyle t=\frac1{30}$이고 $\displaystyle S_2$의 반지름의 길이는 $\displaystyle r_2=7t=\frac7{30}$이다(〈그림 1〉 참고).