자연계열 1번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)=-ax^3+bx$의 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-3ax^2+b$이므로 원점 $\displaystyle (0,0)$에서 곡선의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(0)=b$이므로 접선 $\displaystyle l$의 식은 $\displaystyle y-0=b(x-0)$, 즉$\displaystyle y=bx$이다.

(2) 식 $\displaystyle -ax^3+bx=0$를 인수분해하여 $\displaystyle x(\sqrt ax+\sqrt b)(-\sqrt ax+\sqrt b)=0$의 양수 근을 구하면$\displaystyle \mathrm{A}\left(\sqrt{\frac ba},0\right)$이다. 직선의 식 $\displaystyle y=bx$에 $\displaystyle x=\sqrt{\frac ba}$ 대입하면$\displaystyle \mathrm{B}\left(\sqrt{\frac ba},\frac{b\sqrt b}{\sqrt a}\right)$이고, 직각 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이 $\displaystyle S_1$는$\displaystyle S_1=\frac12\times\sqrt{\frac ba}\times\frac{b\sqrt b}{\sqrt a}=\frac{b^2}{2a}$이다.

(3) 곡선 $\displaystyle y=-ax^3+bx$와 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$에 의해 둘러싸인 부분의 넓이 $\displaystyle S_2$는$\displaystyle S_2=\int_0^{\sqrt{\frac ba}}(-ax^3+bx)dx=\Biggl[-\frac a4x^4+\frac b2x^2\Biggr]_0^{\sqrt{\frac ba}}=-\frac{b^2}{4a}+\frac{b^2}{2a}=\frac{b^2}{4a}$이다. 따라서$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=2$이다.