자연계열 3번

(1) 사인 법칙에 의해 $\displaystyle 2R=\frac c{\sin\mathrm{C}}=\frac c{\sin(\pi/6)}=2c$이므로 $\displaystyle R=c$를 얻는다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$가 둔각삼각형이 아니므로 $\displaystyle \mathrm{B}=\frac\pi2$일 때 $\displaystyle c$는 최댓값 $\displaystyle a\tan\frac\pi6=\frac a{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}a$이다.

그리고 $\displaystyle \angle\mathrm{A}=\frac\pi2$일 때 $\displaystyle c$는 최솟값 $\displaystyle a\sin\frac\pi6=\frac a2$이다.

(2) 사인 법칙에 의해 $\displaystyle R=\frac a{2\sin\mathrm{A}}$이다. 한편 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$가 둔각삼각형이 아니므로 $\displaystyle \angle\mathrm{A}=\frac\pi2$일 때 $\displaystyle \sin\mathrm{A}$는 최대이고 $\displaystyle \angle\mathrm{C}=\frac\pi2$일 때 $\displaystyle \sin\mathrm{A}$는 최소이다. 따라서 $\displaystyle R$이 최대일 때 $\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}$이고 최소일 때 $\displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2}$이다.

(3) $\displaystyle \frac{(a+b+c)r}{2}=\frac{(a+d)r}{2}=\frac{bc\sin\mathrm{A}}2$에서 $\displaystyle r=\frac{bc\sin\mathrm{A}}{a+d}$이고 사인 법칙에 의해 $\displaystyle R=\frac a{2\sin\mathrm{A}}$이다. 따라서 $\displaystyle Rr=\frac{abc}{2(a+d)}=\frac a{2(a+d)}\cdot bc$를 얻는다.

$\displaystyle a,a+d$는 상수이므로 $\displaystyle bc$가 최대일 때 $\displaystyle Rr$이 최대가 된다. 산술기하평균에 의해 $\displaystyle bc\le\left(\frac{b+c}{2}\right)^2$이고 $\displaystyle b=c=\frac d2$일 때 $\displaystyle bc$는 최댓값 $\displaystyle \frac{d^2}{4}$가 된다. 따라서 $\displaystyle Rr$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{ad^2}{8(a+d)}$이다.