자연계열 1번

[문제 1-1](ⅰ) $\displaystyle Z\cap\{1,2,3,5,7\}=\{1,3,5,7\}$이므로 $\displaystyle \{1,3,5,7\}\subset Z$이고 $\displaystyle 2\notin Z$이다. 따라서 집합 $\displaystyle Z$는$\displaystyle \{1,3,5,7\},\ \{1,3,4,5,7\},\ \{1,3,5,6,7\},\ \{1,3,4,5,6,7\}$ ⋯⋯ ㉠중 하나이다. 한편 $\displaystyle Y-\{2,4\}=Z$에서 $\displaystyle 4\notin Z$이고, $\displaystyle n(Z)=5$이므로 ㉠중에서 $\displaystyle Z=\{1,3,5,6,7\}$이다.(ⅱ) $\displaystyle Z=\{1,3,5,6,7\}$이고 $\displaystyle Y-\{2,4\}=Z$이므로 $\displaystyle \{1,3,5,6,7\}\subset Y$이다.$\displaystyle Y\subset U$이므로 집합 $\displaystyle Y$는$\displaystyle \{1,3,5,6,7\},\ \{1,2,3,5,6,7\},\ \{1,3,4,5,6,7\},\ \{1,2,3,4,5,6,7\}$ ⋯⋯ ㉡중 하나이다. 한편 $\displaystyle X\cup\{2,3,4,6\}=Y$이므로 $\displaystyle \{2,3,4,6\}\subset Y$이다. 따라서 ㉡중에서 $\displaystyle Y=\{1,2,3,4,5,6,7\}$이다.(ⅲ) $\displaystyle Y=\{1,2,3,4,5,6,7\}$이고 $\displaystyle X\cup\{2,3,4,6\}=Y$이므로 집합 $\displaystyle X$는 $\displaystyle 1,5,7$을 반드시 포함하여야하고, $\displaystyle n(X)=4$이므로$\displaystyle \{1,2,5,7\},\ \{1,3,5,7\},\ \{1,4,5,7\},\ \{1,5,6,7\}$ ⋯⋯ ㉢중 하나이다. 따라서 ㉢중 원소의 합이 최소인 것은 $\displaystyle \{1,2,5,7\}$이다.

[문제 1-2]함수 $\displaystyle f:N\to X,\ g:N\to Y$를 $\displaystyle \log_2n=f(n)+g(n)$이라 정의하면 함수 $\displaystyle f(n)$는 $\displaystyle \log_2n$의 정수부분이고, 함수 $\displaystyle g(n)$는 $\displaystyle \log_2n$의 소수부분이다.(ⅰ) 조건 (가)의 $\displaystyle 1\le m\le4,\ 1\le n\le4$에서$\displaystyle 0\le\log_2m\le2,\ 0\le\log_2n\le2$이므로 $\displaystyle f(m)=0,1,2$이고 $\displaystyle f(n)=0,1,2$이다.(ⅱ) 조건 (나)에서 $\displaystyle f(m)=f(n)+1$이므로$\displaystyle f(n)=0,\ f(m)=1$인 경우와 $\displaystyle f(n)=1,\ f(m)=2$인 경우가 된다.① $\displaystyle f(n)=0$, $\displaystyle f(m)=1$일 때 $\displaystyle n=1,m=2,3$이므로 $\displaystyle (m,n)$의 순서쌍은 $\displaystyle (2,1),(3,1)$이다.② $\displaystyle f(n)=1$, $\displaystyle f(m)=2$일 때 $\displaystyle n=2,3,m=4$이므로 $\displaystyle (m,n)$의 순서쌍은 $\displaystyle (4,2),(4,3)$이다.따라서 ①, ②에 의해 $\displaystyle (m,n)$의 순서쌍은 $\displaystyle (2,1),(3.1),(4,2),(4,3)$이다.(ⅲ) 조건 (다)에서 $\displaystyle g(m^2)=g(n)$이므로 $\displaystyle \log_2m^2$과 $\displaystyle \log_2n$의 소수부분은 같다.따라서 $\displaystyle \log_2m^2-\log_2n$은 정수 값을 갖는다. 즉,$\displaystyle \log_2m^2-\log_2n=\log_2\frac{m^2}n$은 정수이므로 $\displaystyle \frac{m^2}n=2^k$ ($\displaystyle k$는 정수)을 만족하는 $\displaystyle (m,n)$의 순서쌍은 $\displaystyle (2,1),(4,2)$이다.그러므로 (i), (ii), (iii)에 의해 조건 (가), (나), (다)를 만족하는 $\displaystyle (m,n)$의 순서쌍은 $\displaystyle (2,1),(4,2)$이다.

[문제 1-3]$\displaystyle g(x)=[n\sqrt x]$는 $\displaystyle n\sqrt x=k$ (단, $\displaystyle k$는 정수)를 만족시키는 $\displaystyle x$에서 불연속이다. 즉$\displaystyle n\sqrt x=k,\ \sqrt x=\frac kn,\ x=\frac{k^2}{n^2}$일 때 불연속이다. 따라서 $\displaystyle g(x)$가 불연속인 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 0<x<1$이므로$\displaystyle x=\frac{k^2}{n^2}\quad(k=1,2,\cdots,n-1)$이다. $\displaystyle f(x)g(x)$가 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle f\left(\frac{k^2}{n^2}\right)=0\quad(k=1,2,\cdots,n-1)$이어야 하고 $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$이므로$\displaystyle f(x)=\left(x-\frac1{n^2}\right)\left(x-\frac{2^2}{n^2}\right)\cdots\left(x-\frac{(n-1)^2}{n^2}\right)$이 된다. 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 해의 합 $\displaystyle S_n$은$\displaystyle S_n=\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^2}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2}{n^2}=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^2}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}n=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\frac13$이다.