자연계열 2번

[문제 2-1]제시문 (가)에 의하여 점 $\displaystyle B_n$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac12n(n-1)$이고, 점 $\displaystyle B_{n+1}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac12(n+1)n$이므로 선분 $\displaystyle B_nB_{n+1}$의 길이 $\displaystyle l_n$은$\displaystyle l_n=\frac12(n+1)n-\frac12n(n-1)=n$이다. 한편 점 $\displaystyle B_n$을 지나면서 $\displaystyle y$축에 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{2x}$와 만나는 점이 $\displaystyle A_n$이므로 점 $\displaystyle A_n$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \sqrt{2\times\frac12n(n-1)}=\sqrt{n(n-1)}$이고, 이 때 점 $\displaystyle A_n$의 좌표는 $\displaystyle A_n\left(\frac12n(n-1),\sqrt{n(n-1)}\right)$이다.따라서 삼각형 $\displaystyle A_nB_nB_{n+1}$의 넓이 $\displaystyle S_n$는$\displaystyle S_n=\frac12\times l_n\times\sqrt{n(n-1)}=\frac12n\sqrt{n(n-1)}$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{l_n^2}{S_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{\frac12n\sqrt{n(n-1)}}=2$이다.

[문제 2-2](i) 조건 (가), (나)에 의하여$\displaystyle p,q,r$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+3ax^2-b=0$의 근이고, $\displaystyle -2<p<-1<q<0<r$이므로$\displaystyle f^{\prime}(-2)=-32+12a-b<0$ ⋯⋯ ㉠$\displaystyle f^{\prime}(-1)=-4+3a-b>0$ ⋯⋯ ㉡$\displaystyle f^{\prime}(0)=-b<0$ ⋯⋯ ㉢이다. ㉠, ㉡, ㉢에서$\displaystyle b>0,\ 4b+16<12a<32+b$ ⋯⋯ ㉣이고, $\displaystyle 4b+16<32+b$에서 $\displaystyle 0<b<\frac{16}3$이다.한편 $\displaystyle b$는 정수이므로 $\displaystyle b$의 값은 $\displaystyle 1,2,3,4,5$중의 하나가 된다.$\displaystyle b=1$일 때 ㉣에서 $\displaystyle 20<12a<33$이고, 이 때 정수 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle 2$가 된다.$\displaystyle b=2,3,4,5$일 때 ㉣을 만족하는 정수 $\displaystyle a$의 값은 없다.(ii) $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+6x^2-1=(2x+1)(2x^2+2x-1)=0$의 근은 $\displaystyle x=-\frac12$ 또는 $\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt3}2$이므로 조건 (가), (나)에 의하여$\displaystyle p=\frac{-1-\sqrt3}2,\ q=-\frac12,\ r=\frac{-1+\sqrt3}2$이 된다.(iii) $\displaystyle p,r$는 방정식 $\displaystyle 2x^2+2x-1=0$의 근이고$\displaystyle f(x)=x^4+2x^3-x+c=(2x^2+2x-1)\left(\frac12x^2+\frac12x-\frac14\right)+c-\frac14$이므로 극솟값 $\displaystyle f(p)=f(r)=c-\frac14$이고, 극댓값 $\displaystyle f(q)=f\left(-\frac12\right)=c+\frac5{16}$이다.조건 (다)에 의하여 극솟값은 음수이고 극댓값은 양수가 된다. 즉$\displaystyle c-\frac14<0,\ c+\frac5{16}>0$에서 $\displaystyle -\frac5{16}<c<\frac14$이고, $\displaystyle c$가 정수이므로 $\displaystyle c=0$이다. 따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여$\displaystyle a=2,\ b=1,\ c=0,\ p=\frac{-1-\sqrt3}2,\ q=-\frac12,\ r=\frac{-1+\sqrt3}2$이다.

[문제 2-3]실수 $\displaystyle x$의 범위에 따라 $\displaystyle g(x)$를 구하면, 다음과 같다.(i) $\displaystyle x<-a$일 때, $\displaystyle g(x)=\int_{-a}^a(u-x)\,du=-2ax$(ii) $\displaystyle -a\le x<a$일 때, $\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\int_{-a}^x(-u+x)\,du+\int_x^a(u-x)\,du\\&=\frac12(x+a)^2+\frac12(a-x)^2=a^2+x^2\end{aligned}$(iii) $\displaystyle x\ge a$일 때, $\displaystyle g(x)=\int_{-a}^a(-u+x)\,du=2ax$(i), (ii), (iii)에 의하여 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 다음과 같다.

한편 $\displaystyle a\ge1$이면$\displaystyle \int_{-1}^1g(x)\,dx=2\int_0^1a^2+x^2\,dx=2\Biggl[a^2x+\frac13x^3\Biggr]_0^1=2a^2+\frac23\ge\frac83$이므로 $\displaystyle g(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 확률밀도함수가 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle a<1$이다.$\displaystyle \begin{aligned}\therefore\int_{-1}^1g(x)\,dx&=2\left\{\int_0^a(a^2+x^2)\,dx+\int_a^12ax\,dx\right\}\\&=2\left\{\Biggl[a^2x+\frac13x^3\Biggr]_0^a+\Biggl[ax^2\Biggr]_a^1\right\}=\frac23a^3+2a\end{aligned}$이다. $\displaystyle \int_{-1}^1g(x)\,dx=1$이므로 $\displaystyle \frac23a^3+2a=1$이 되어 $\displaystyle a^3+3a=\frac32$이다.