자연계열 2번

(2) $\displaystyle y=ax^2+b$과 직선 $\displaystyle y=c+10$를 $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle -b$만큼 평행 이동시키면 결국 문제는 $\displaystyle y=ax^2$과 $\displaystyle y=c-b+10$으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle y$축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하는 것이 된다. 따라서 $\displaystyle c+10\ge b$일 때, 부피V는 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_0^{c-b+10}\pi x^2\,dy\\&=\int_0^{c-b+10}\pi\frac ya\,dy\\&=\frac\pi a\Biggl[\frac{y^2}{2}\Biggr]_0^{c-b+10}\\&=\frac{(c-b+10)^2\pi}{2a}\end{aligned}$

또 $\displaystyle c+10<b$인 경우에는 포물선과 직선이 만나지 않기 때문에 답을 0 또는 무한대로 해야 한다.Comment. $\displaystyle c+10<b$이면 포물선과 직선으로 둘러싸인 유한한 영역이 생기지 않는다. 따라서 별도의 영역을 정하지 않고 회전체의 부피를 무한대라고 할 수는 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.