자연계열 1번

[문제 1]

수열 $\displaystyle \left\{ f_{n} \right\}$이 $\displaystyle f_{1} = 1 , f_{2} = 1 , f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$을 만족할 때, 이 수열을 피보나치 수열이라 하고,수열 $\displaystyle \left\{ l_{n} \right\}$이 $\displaystyle l_{1} = 1 , l_{2} = 3 , l_{n + 2} = l_{n + 1} + l_{n}$을 만족할 때, 이 수열을 루카스 수열이라고 한다.다음 물음에 답하시오.

(a) $\displaystyle a_{n} = \frac{{1}}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)^{n} - \left( \frac{{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)^{n} \right]$인 수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$이 피보나치 수열임을 보이고, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n}$이 자연수임을 보이시오. (40점)

(b) 피보나치 수열 $\displaystyle \left\{ f_{n} \right\}$이 다음 식을 만족함을 보이시오. (40점)$\displaystyle f_{1} f_{2} + f_{2} f_{3} + f_{3} f_{4} + \cdots + f_{2 n - 1} f_{2 n} = f_{2 n}^{2}$

(c) 문항 (a)를 참조하여 루카스 수열의 일반항을 구하시오. (40점)

(d) 루카스 수열 $\displaystyle \left\{ l_{n} \right\}$에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {} \frac{{l_{n + 1}}}{l_{n}}$을 구하시오. (30점)