자연계열 1번

원의 방정식은 $\displaystyle x^{2} + ( y - r )^{2} = r^{2}$이고 $\displaystyle y = 4 - x^{2}$ 과 접하고 있으므로 다음의 식이 성립한다.

$\displaystyle \begin{cases}x^2+(y-r)^2-r^2=0\\x^2+y-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=2ry-y^2\\x^2=4-y\end{cases}\Leftrightarrow 2ry-y^2=4-y\Leftrightarrow y^2-(2r+1)y+4=0$

여기서, $\displaystyle y^{2} - ( 2 r + 1 ) y + 4 = 0$.

따라서 접하므로 이식은 완전제곱식이 된다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{{3}}{2}$이고, $\displaystyle y = 2$이다.

이 값을 가지고 $\displaystyle x$를 구하면 $\displaystyle x = ± \sqrt{2}$가 된다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{A} = ( - \sqrt{2} , 2 ) , \mathrm{B} = ( \sqrt{2} , 2 )$가 된다.

두 점은 $\displaystyle \mathrm{A} = ( - \sqrt{2} , 2 ) , \mathrm{B} = ( \sqrt{2} , 2 )$ 이고 $\displaystyle y^{\prime} = - 2 x$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{A}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle - 2 \sqrt{2}$이므로 접선은 다음과 같다.

$\displaystyle y - 2 = - 2 \sqrt{2} ( x + \sqrt{2} ) \Leftrightarrow y = - 2 \sqrt{2} x + 6$Correction. 접선의 기울기는 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle 2\sqrt2$, $\displaystyle B$에서 $\displaystyle -2\sqrt2$이다. 따라서 접선의 방정식은 각각 $\displaystyle y=2\sqrt2x+6$, $\displaystyle y=-2\sqrt2x+6$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한 $\displaystyle \mathrm{B}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이므로 접선은 다음과 같다.

$\displaystyle y - 2 = 2 \sqrt{2} ( x - \sqrt{2} ) \Leftrightarrow y = 2 \sqrt{2} x + 6$

$\displaystyle \angle \mathrm{APB}$의 값을 $\displaystyle \alpha$이라 하면, $\displaystyle \cos \left( \frac{{\alpha}}{2} \right) = \frac{{1}}{3}$ 이고 $\displaystyle \tan \left( \frac{{\alpha}}{2} \right) = 2 \sqrt{2}$를 만족한다.

따라서 $\displaystyle \tan \alpha = \frac{{2 \tan \left( \frac{{\alpha}}{2} \right)}}{1 - \tan^{2} \left( \frac{{\alpha}}{2} \right)} = \frac{{2 \cdot 2 \sqrt{2}}}{1 - ( 2 \sqrt{2} )^{2}} = - \frac{{4 \sqrt{2}}}{7}$

$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left[(4-x^2)-\left(\frac32+\sqrt{\frac94-x^2}\right)\right]dx\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=2\int_0^{\sqrt2}\left(\frac52-x^2\right)dx-2\int_0^{\sqrt2}\sqrt{\frac94-x^2}\,dx\\&=\frac{11}3\sqrt2-2\int_0^{\alpha/2}\left(\frac32\cos\theta\right)\left(\frac32\cos\theta\right)d\theta\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{11}3\sqrt2-\frac92\int_0^{\alpha/2}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{11}3\sqrt2-\frac92\int_0^{\alpha/2}\frac{1+\cos2\theta}2\,d\theta\\&=\frac{11}3\sqrt2-\frac94\Biggl[\theta+\frac12\sin2\theta\Biggr]_0^{\alpha/2}=\frac{11}3\sqrt2-\frac98\alpha-\frac98\sin\alpha\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{11}3\sqrt2-\frac98\alpha-\frac94\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2=\frac{11}3\sqrt2-\frac98\alpha-\frac94\frac{2\sqrt2}3\frac13\\&=\frac{19}6\sqrt2-\frac98\alpha\end{aligned}$