자연계열 2번

도가 나올 확률 P(도)=$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} p ( 1 - p )^{3}$개가 나올 확률 P(개)=$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2} p^{2} ( 1 - p )^{2}$걸이 나올 확률 P(걸)=$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{3} p^{3} ( 1 - p )$윷이 나올 확률 P(윷)=$\displaystyle {} p^{4}$모가 나올 확률 P(모)=$\displaystyle {} ( 1 - p )^{4}$

이때 P(도)$\displaystyle \geq$ P(개)$\displaystyle \geq$ P(걸)$\displaystyle \geq$ P(윷)$\displaystyle \geq$ P(모)를 만족하는 $\displaystyle p$ ($\displaystyle 0 \leq p \leq 1$)의 값이 존재하는지 판단하면 된다.

조건 P(도)$\displaystyle \geq$ P(개) $\displaystyle \Rightarrow 4 p ( 1 - p )^{3} \geq 6 p^{2} ( 1 - p )^{2} \Rightarrow 2 ( 1 - p ) \geq 3 p \Rightarrow p \leq \frac{{2}}{5}$

조건 P(윷)$\displaystyle \geq$ P(모) $\displaystyle \Rightarrow p^{4} \geq ( 1 - p )^{4} \Rightarrow p \geq 1 - p \Rightarrow p \geq \frac{{1}}{2}$

위의 두 조건으로부터 만족하는 $\displaystyle p$의 값을 구할 수 없다.

결론: 문제에서 원하는 경우는 발생하지 않는다.

P(걸)$\displaystyle \geq$ P(개)$\displaystyle \geq$ P(도)$\displaystyle \geq$ P(윷)$\displaystyle \geq$ P(모)를 만족하는 $\displaystyle p$ ($\displaystyle 0 \leq p \leq 1$)의 범위를 구하면된다.

(b)에서 구한 확률의 값을 이용하여 대입하면$\displaystyle 4 p^{3} ( 1 - p ) \geq 6 p^{2} ( 1 - p )^{2} \geq 4 p ( 1 - p )^{3} \geq p^{4} \geq ( 1 - p )^{4}$이 얻어진다.

첫 번째 부등식 $\displaystyle \Rightarrow 2 p \geq 3 ( 1 - p ) \Rightarrow p \geq \frac{{3}}{5}$

두 번째 부등식 $\displaystyle \Rightarrow 3 p \geq 2 ( 1 - p ) \Rightarrow p \geq \frac{{2}}{5}$

세 번째 부등식$\displaystyle \Rightarrow 4 ( 1 - p )^{3} \geq p^{3} \Rightarrow ( \sqrt[3]{4} ( 1 - p ) )^{3} \geq p^{3} \Rightarrow \sqrt[3]{4} ( 1 - p ) \geq p \Rightarrow p \leq \frac{{\sqrt[3]{4}}}{1 + \sqrt[3]{4}}$

네 번째 부등식 $\displaystyle \Rightarrow p^{4} \geq ( 1 - p )^{4} \Rightarrow p \geq 1 - p \Rightarrow p \geq \frac{{1}}{2}$

위 네 개의 부등식 조건을 모두 고려하면 다음의 결과를 얻게 된다.

답: $\displaystyle \frac{{3}}{5} \leq p \leq \frac{{\sqrt[3]{4}}}{1 + \sqrt[3]{4}}$ $\displaystyle ( 0.6 \leq p \leq 0.614$ 로 써도 무방하다.)