자연계열 1번

직선 $\displaystyle l$의 방정식을 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle l:\ y-a^2=2a(x-a)\Leftrightarrow y=2ax-a^2$

또한, $\displaystyle m:\ y-a^2=-\frac1{2a}(x-a)\Leftrightarrow y=-\frac1{2a}x+a^2+\frac12$

점 $\displaystyle Q$를 구하기 위해 $\displaystyle y = - \frac{{1}}{2 a} x + a^{2} + \frac{{1}}{2}$과 $\displaystyle y = x^{2}$의 두 방정식을 연립하여 풀면 다음과 같다.$\displaystyle x^2+\frac1{2a}x-a^2-\frac12=0\Leftrightarrow(x-a)\left(x+a+\frac1{2a}\right)=0.$따라서 $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle ( - a - \frac{{1}}{2 a} , ( a + \frac{{1}}{2 a} )^{2} )$이 된다.

선분 $\displaystyle PQ$의 길이는 다음과 같다.$\displaystyle \overline{PQ} = f(a) = \sqrt{( a + a + \frac{{1}}{2 a} )^{2} + ( a^{2} - ( a + \frac{{1}}{2 a} )^{2} )^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + \frac{{3}}{4 a^{2}} + \frac{{1}}{16 a^{4}} + 3}$

$\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(a)^2$은 같은 $\displaystyle a$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle f(a)^2$의 최솟값을 구하면 된다.

여기서 $\displaystyle g(a)=f(a)^2$이라고 놓으면 $\displaystyle g(a)=4a^2+\frac3{4a^2}+\frac1{16a^4}+3$이 된다.

최솟값을 구하기 $\displaystyle g^{\prime}(a)$를 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle g^{\prime}(a)=8a-\frac3{2a^3}-\frac1{4a^5}=\frac{32a^6-6a^2-1}{4a^5}.$

여기서 윗 식을 인수분해하면 다음과 같다.$\displaystyle g^{\prime}(a)=\frac{32a^6-6a^2-1}{4a^5}=\frac{(2a^2-1)(4a^2+1)^2}{4a^5}.$$\displaystyle a = \frac{{\sqrt{2}}}{2}$에서 $\displaystyle g^{\prime} ( a ) = 0$이 되고, $\displaystyle g^{\prime \prime} ( a ) = 8 + \frac{{9}}{2 a^{4}} + \frac{{5}}{4 a^{6}} > 0$이다.

따라서 $\displaystyle a = \frac{{\sqrt{2}}}{2}$에서 최솟값을 가진다. 이때 $\displaystyle f ( a )$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{{3 \sqrt{3}}}{2}$이다.

직선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle \tan \theta$와 같다. 즉, $\displaystyle \tan \theta = 2 a = 2 \frac{{1}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$이 된다. 그러므로 삼각함수 성질에 의해, $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}$이고, $\displaystyle \cos \theta = \frac{{1}}{\sqrt{3}}$이 된다.

여기서 $\displaystyle \sin(4\theta)=2\sin2\theta\cos2\theta$이고 $\displaystyle \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$이고 $\displaystyle \cos2\theta=1-2\sin^2\theta$이다.

$\displaystyle \sin2\theta=\frac{2\sqrt2}3$이고 $\displaystyle \cos2\theta=-\frac13$이므로, $\displaystyle \sin4\theta=-\frac{4\sqrt2}9$이 된다.