자연계열 2번

코사인 제2법칙에 의해서

$\displaystyle \cos B=\frac{(2\sqrt2)^2+(\sqrt2+\sqrt6)^2-(2\sqrt3)^2}{2\times2\sqrt2\times(\sqrt2+\sqrt6)}=\frac12.$

그러므로 $\displaystyle B=\frac\pi3$이다.

외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$이라 할 때, 사인 법칙에 의해서

$\displaystyle 2R=\frac{2\sqrt3}{\sin B}=\frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=4$

이므로 $\displaystyle R=2$이다.

사인 법칙에 의해서 $\displaystyle \sin C = \frac{{2 \sqrt{2}}}{2 R} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}$이므로, $\displaystyle C = \frac{{\pi}}{4}$이다. 이 때,

$\displaystyle A=\pi-B-C=\pi-\frac\pi3-\frac\pi4=\frac{5\pi}{12}.$

중심각은 원주각의 2배이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$, $\displaystyle \mathrm{OBC}$, $\displaystyle \mathrm{OCA}$의 넓이는 각각

$\displaystyle \frac12R^2\sin(2C),\quad\frac12R^2\sin(2A),\quad\frac12R^2\sin(2B)$

이다.

그러므로 세 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$, $\displaystyle \mathrm{OBC}$, $\displaystyle \mathrm{OCA}$의 넓이의 비는

$\displaystyle \frac12R^2\sin(2C):\frac12R^2\sin(2A):\frac12R^2\sin(2B)=\sin\frac\pi2:\sin\frac{5\pi}6:\sin\frac{2\pi}3=2:1:\sqrt3$

삼각형 AOC는 $\displaystyle \angle AOC = \frac{{2 \pi}}{3}$이고, $\displaystyle \overline{AO} = \overline{OC} = 2$인 이등변 삼각형이다. 그러므로 다음과 같은 좌표를 도입할 수 있다 : $\displaystyle O ( 0 , 0 ) , C ( 2 , 0 ) , A ( - 1 , \sqrt{3} )$.

점 $\displaystyle D$는 중심이 (0,0)이고, 반지름 2인 원 위에 있으므로, 점 D의 좌표를 $\displaystyle ( x , y )$라 하면$\displaystyle x^2+y^2=4\quad\text{------ (1)}$이다.삼각형 ACD의 무게 중심을 $\displaystyle M ( X , Y )$라고 하면,$\displaystyle ( X , Y ) = ( \frac{{- 1 + 2 + x}}{3} , \frac{{\sqrt{3} + 0 + y}}{3} ) = ( \frac{{x + 1}}{3} , \frac{{y + \sqrt{3}}}{3} )$이다.

그러므로 $\displaystyle x = 3 X - 1 = 3 ( X - \frac{{1}}{3} )$, $\displaystyle y = 3 Y - \sqrt{3} = 3 ( Y - \frac{{\sqrt{3}}}{3} )$이고, 이를 식 (1)에 대입하여 정리하면 $\displaystyle \left(X-\frac13\right)^2+\left(Y-\frac{\sqrt3}3\right)^2=\left(\frac23\right)^2\quad\text{-------(2)}$이 된다.

또한, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 무게 중심은 변 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 중점 $\displaystyle \mathrm E\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$과 $\displaystyle \mathrm D$를 1:2로 내분하는 점이므로, 점 $\displaystyle \mathrm D$가 $\displaystyle \mathrm A$로 접근하면 점 $\displaystyle \mathrm M$은 $\displaystyle \mathrm F\left(0,\frac{2\sqrt3}3\right)$로 접근하고, 점 $\displaystyle \mathrm D$가 $\displaystyle \mathrm C$로 접근하면 점 $\displaystyle \mathrm M$은 $\displaystyle \mathrm G\left(1,\frac{\sqrt3}3\right)$로 접근한다. 그러므로 구하고자 하는 자취는 현 $\displaystyle \mathrm{FG}$에 의해서 잘린 원 (2)의 호가 된다. (단, 경계 제외)

이 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{FG}$의 길이는 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}3$이다. 원 (2)의 중심을 $\displaystyle \mathrm P$라 하면,

$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{FPG})=\frac{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2-\left(\frac{2\sqrt3}3\right)^2}{2\times\frac23\times\frac23}=-\frac12$

이므로 각 $\displaystyle \mathrm{FPG}=\frac{2\pi}3$이다. 그러므로 구하는 자취의 길이는 $\displaystyle \frac{2\pi\times\frac23}3=\frac{4\pi}9$이다. (원 (2)의 중심이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}$의 내부 즉, 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 아랫부분에 있으므로 선분 $\displaystyle \mathrm{FG}$에 의해서 잘린 두 개의 호 중 작은 쪽 호)