자연계열 2번

(a)지수함수와 로그함수의 관계로부터 $\displaystyle S_{n}$은 연립부등식$\displaystyle y \geq 0$, $\displaystyle 10^{y} \leq x \leq a_{n} = 10^{n} - 1$을 만족하는 모든 정수의 순서쌍 $\displaystyle ( x , y )$의 개수와 같다. 따라서 $\displaystyle y$는 $\displaystyle 0 \leq y < n$인 정수이고,$\displaystyle y = k$일 때 $\displaystyle 10^{k} \leq x \leq 10^{n} - 1$이므로, 이 때 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 10^{n} - 10^{k}$이다. 그러므로$\displaystyle S_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} ( 10^{n} - 10^{k} ) = \sum_{k = 0}^{n - 1} 10^{n} - \sum_{k = 0}^{n - 1} 10^{k} = n 10^{n} - \frac{{10^{n} - 1}}{9} = \left( n - \frac{{1}}{9} \right) 10^{n} + \frac{{1}}{9}$이다.

(b)$\displaystyle \log a_{n}$의 가수를 $\displaystyle t_{n}$라 하면 $\displaystyle \log a_{n}= n - 1 + t_{n}( 0 \leq t_{n} < 1 )$이다. 그런데 $\displaystyle 0 \leq \frac{{t_{n}}}{n} < \frac{{1}}{n}$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {0} = 0 = \lim_{n \to \infty} {\frac{{1}}{n}}$이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{t_{n}}}{n}} = 0$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{S_{n}}}{a_{n} \log a_{n}}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{\left( n - \frac{{1}}{9} \right) 10^{n} + \frac{{1}}{9}}}{( 10^{n} - 1 ) ( n - 1 + t_{n} )}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{\left( 1 - \frac{{1}}{9 n} \right) + \frac{{1}}{9 n 10^{n}}}}{\left( 1 - \frac{{1}}{10^{n}} \right) \left( 1 + \frac{{t_{n} - 1}}{n} \right)}} = \frac{{( 1 - 0 ) + 0}}{( 1 - 0 ) ( 1 + 0 )}$이다.