자연계열 3번

(a)일차변환에 의하여 점 $\displaystyle (1,1)$은 점 $\displaystyle (\sin\theta+1,\sin^2\theta+\sin\theta)$으로 옮겨지고 이 점은 부등식 $\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2\le1$을 만족하므로$\displaystyle (\sin\theta+1-1)^2+(\sin^2\theta+\sin\theta-1)^2=\sin^4\theta+2\sin^3\theta-2\sin\theta+1\le1$이다. $\displaystyle t=\sin\theta$로 놓으면 $\displaystyle -1\le t\le1$이고, 위 부등식은$\displaystyle t^4+2t^3-2t\le0$이 된다. $\displaystyle f(t)=t^4+2t^3-2t$라 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=4t^3+6t^2-2=2(t+1)^2(2t-1)$이므로 $\displaystyle f$의 극댓값은 존재하지 않고 $\displaystyle f$의 극솟값은 $\displaystyle t=\frac12$일 때 $\displaystyle -\frac{11}{16}$이다. 이 함수의 그래프의 개형을 그려보면 방정식 $\displaystyle f(t)=0$은 양의 근을 오직 1개만 갖는 것을 알 수 있다. 이 양의 근을 $\displaystyle \alpha$라 하자. 그러면 부등식 $\displaystyle f(t)\le0$의 해는 $\displaystyle 0\le t\le\alpha$이다. 이때 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=-\frac{11}{16}<0$이고 $\displaystyle f(0.9)=0.3141>0$이므로 중간값의 정리에 의하여 $\displaystyle 0.5<\alpha<0.9$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle 0\le t=\sin\theta\le\alpha<0.9$이다.

(b)삼각함수 배각의 공식을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}17-4\cos2\theta\sin\theta-20\sin\theta-9\cos2\theta&=17-4(1-2\sin^2\theta)\sin\theta-20\sin\theta-9(1-2\sin^2\theta)\\&=8\sin^3\theta+18\sin^2\theta-24\sin\theta+8\end{aligned}$이 된다. $\displaystyle t = \sin \theta$로 놓고, $\displaystyle g ( t ) = 8 t^{3} + 18 t^{2} - 24 t + 8$라 하자.$\displaystyle g^{\prime}(t)=24t^2+36t-24=12(2t-1)(t+2)$이므로 함수 $\displaystyle g$는 $\displaystyle t=\frac12$일 때 극솟값을 갖는다. $\displaystyle 0\le t\le\alpha$이므로 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=\alpha$에서 최댓값을 갖는다. $\displaystyle g(0)=8$이고 $\displaystyle 0.5<t<0.9$에서 $\displaystyle g(t)$는 증가하며 $\displaystyle 0.5<\alpha<0.9$이므로 $\displaystyle g(\alpha)<g(0.9)=6.812<8$이다. 그러므로 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=0$일 때, 최댓값 8을 갖는다.따라서 $\displaystyle 17 - 4 \cos 2 \theta \sin \theta - 20 \sin \theta - 9 \cos 2 \theta$의 최댓값은 8이다.