자연계열 1번

(a) $\displaystyle X=3^{x}+3^{-x}$라 하자.

$\displaystyle X=3^{x}+\dfrac{1}{3^{x}}\geq 2\sqrt{3^{x}\cdot\dfrac{1}{3^{x}}}=2$ (단, $\displaystyle x=0$일 때 등호성립)

이때 $\displaystyle \dfrac{dX}{dx}=\left(3^{x}-3^{-x}\right)\ln 3\geq 0$ ($\displaystyle \because\ x\geq 0$, 단 $\displaystyle x=0$일 때 등호성립)이고$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(3^{x}+3^{-x}\right)=\infty$이므로, $\displaystyle x\geq 0$일 때 $\displaystyle X$와 $\displaystyle x$는 일대일대응이다.

$\displaystyle f(x)=g(X)=\left(X^{3}-3X\right)-3\left(X^{2}-2\right)-6X+a=X^{3}-3X^{2}-9X+6+a\ (X\geq 2)$

$\displaystyle g^{\prime}(X)=3X^{2}-6X-9=3(X+1)(X-3)$이므로 $\displaystyle X\geq 2$에서 $\displaystyle g^{\prime}(X)=0$인 것은 $\displaystyle X=3$뿐이다.

따라서 $\displaystyle g$는 $\displaystyle X=3$에서 최솟값 $\displaystyle g(3)=a-21$을 갖는다.

$\displaystyle X=3=3^{x}+3^{-x}$에서 $\displaystyle 3^{x}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ ($\displaystyle \because\ x\geq 0$)

$\displaystyle \therefore\ x=\log_{3}\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

(b) $\displaystyle X$와 $\displaystyle x$가 일대일대응이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수는$\displaystyle g(X)=0\ (X\geq 2)$의 실근의 개수와 같다.

$\displaystyle g(2)=a-16$, $\displaystyle g(3)=a-21$이고, $\displaystyle g$는 $\displaystyle [2,\,3]$에서 감소, $\displaystyle [3,\,\infty)$에서 증가하며$\displaystyle \lim_{X\to\infty}g(X)=\infty$이다.

(i) $\displaystyle a>21$이면 $\displaystyle g(X)\geq a-21>0$이므로 근이 없다.(ii) $\displaystyle a=21$이면 $\displaystyle X=3$에서만 $\displaystyle g=0$이므로 근은 1개이다.

(iii) $\displaystyle 16<a<21$이면 $\displaystyle g(2)>0>g(3)$이므로 $\displaystyle [2,\,3)$과 $\displaystyle (3,\,\infty)$에 하나씩, 근은 2개이다.(iv) $\displaystyle a=16$이면 $\displaystyle g(2)=0$이고 $\displaystyle (3,\,\infty)$에 하나가 더 있으므로 근은 2개이다.

(v) $\displaystyle a<16$이면 $\displaystyle [2,\,3)$에서 $\displaystyle g(X)\leq g(2)<0$이므로 근은 $\displaystyle (3,\,\infty)$에 있는 1개뿐이다.

$\displaystyle \therefore\ a<16$ 또는 $\displaystyle a=21$