자연계열 3번

(a) $\displaystyle f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}$로 놓으면, 주어진 부등식은 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(x)\geq 0$임과 같다.

$\displaystyle f(-x)=f(x)$이므로 $\displaystyle f$는 우함수이고, $\displaystyle x\geq 0$에서 $\displaystyle f(x)\geq 0$임을 보이면 충분하다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\sin x+x$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\cos x+1\geq 0$이 모든 실수 $\displaystyle x$에서 성립하므로 $\displaystyle f^{\prime}$은 증가한다.

$\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle x\geq 0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\geq 0$이다.

따라서 $\displaystyle f$는 $\displaystyle [0,\,\infty)$에서 증가한다.

$\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle x\geq 0$에서 $\displaystyle f(x)\geq 0$이고,우함수이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여

$\displaystyle \therefore\ \cos x\geq 1-\dfrac{x^{2}}{2}$

(b) 원 $\displaystyle x^{2}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$이 곡선 $\displaystyle y=\cos x$와 직선 $\displaystyle y=0$에 동시에 접하면서 최대의 반지름을 갖는다.Comment. 영역 S는 두 직선 $\displaystyle y=0$, $\displaystyle y=1$ 사이에 있으므로, 그 안에 포함되는 원의 지름은 1을 넘을 수 없다. 따라서 반지름의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$ 이하이다.

따라서 $\displaystyle -\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \cos x\geq \dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^{2}}$임을 보이면 반지름의 최댓값이 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$이 된다.

이 원이 영역 $\displaystyle S$에 포함됨을 보이자.(a)에 의해서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \cos x\geq 1-\dfrac{x^{2}}{2}$이므로,

$\displaystyle -\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^{2}}\leq 1-\dfrac{x^{2}}{2}$임을 보이면 된다.

$\displaystyle \dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^{2}}\leq 1-\dfrac{x^{2}}{2}\iff \sqrt{\dfrac{1}{4}-x^{2}}\leq \dfrac{1}{2}-\dfrac{x^{2}}{2}$이고,$\displaystyle -\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^{2}}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^{2}}\right)^{2}=\dfrac{x^{4}+2x^{2}}{4}\geq 0$이므로

$\displaystyle -\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^{2}}\leq 1-\dfrac{x^{2}}{2}\leq \cos x$이다.

따라서 구하는 반지름의 길이의 최댓값은 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$이다.