자연계열 1번

연세대 신촌캠퍼스 2008학년도 2차 예시문항 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2008ye_2/jayeon_1

[문제 1] 아래 제시문은 기하학적인 논리와 빛의 성질을 이용하여 타원의 광학적 성질을 설명하고 있다. 이를 읽고 다음 질문들에 답하시오(배점 40점).

(타원의 광학적 성질) 평면위의 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 로부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 곡선을 타원이라고 하고, 이 두 점을 타원의 초점이라고 한다. 라틴어로 초점은 불을 지피는 장소를 의미하는데, 그 이유는 타원의 모양을 따라 거울을 설치하고 한 초점에 불을 지피면 불빛이 타원표면에 설치한 거울에 반사되어 다른 초점으로 가기 때문이다.

타원과 그 위의 점 C에서의 접선 L. 두 초점 A, B에서 C로 실선이, 접선 위의 다른 점 D로 점선이 이어져 있고, C에서 접선과 이루는 각이 θ1, θ2로 표시되어 있다.

타원위의 점 $\displaystyle C$ 에서의 접선을 $\displaystyle L$ 이라고 하면, 타원은 이차곡선이므로 타원과 직선 $\displaystyle L$ 은 $\displaystyle C$ 에서만 만난다. 또한 $\displaystyle C$ 를 제외한 직선 $\displaystyle L$ 상의 임의의 점 $\displaystyle D$ 는 타원 밖에 있다. 이 때, 초점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 로부터 $\displaystyle D$ 까지 거리의 합이 초점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 로부터 $\displaystyle C$ 까지 거리의 합 보다 큼을 알 수 있다. 즉, 선분 $\displaystyle \overline{BD}$ 와 타원과의 교점을 $\displaystyle E$ 라고 하면, 삼각형 $\displaystyle \triangle ADE$ 의 두변의 길이 합( $\displaystyle |\overline{AD}|+|\overline{DE}|$ )은 다른 한 변의 길이( $\displaystyle |\overline{AE}|$ )보다 크므로 $\displaystyle |\overline{AD}|+|\overline{DB}|=|\overline{AD}|+|\overline{DE}|+|\overline{EB}|>|\overline{AE}|+|\overline{EB}|$ 가 성립한다. 또한 $\displaystyle E$ 는 타원위의 점이므로, 타원의 정의에 의하여 $\displaystyle |\overline{AE}|+|\overline{EB}|=|\overline{AC}|+|\overline{CB}|$ 이고, 따라서 $\displaystyle |\overline{AD}|+|\overline{DB}|>|\overline{AC}|+|\overline{CB}|$ 이다. 즉, $\displaystyle A$ 에서 직선 $\displaystyle L$ 상의 한 점을 지나 $\displaystyle B$ 로 가는 최단 경로는 $\displaystyle C$ 를 지나는 것이다.

이 최적의 점 $\displaystyle C$ 는 다른 방법으로도 구할 수 있는데, $\displaystyle B$ 를 직선 $\displaystyle L$ 에 대하여 반사시킨 점 $\displaystyle B^{\prime}$ 와 $\displaystyle A$ 를 직선으로 연결할 때 직선 $\displaystyle L$ 이 만나는 점이 바로 그 최적의 점이 된다. 이 최적의 점이 $\displaystyle C$ 이므로, 선분 $\displaystyle \overline{AC}$ 와 접선 $\displaystyle L$ 사이의 각 $\displaystyle \theta_{1}$ 과 선분 $\displaystyle \overline{BC}$ 와 접선 $\displaystyle L$ 사이의 각 $\displaystyle \theta_{2}$ 가 같음을 알 수 있다. $\displaystyle \theta_{1}=\pi-\measuredangle B^{\prime}CD=\theta_{2}$ 따라서 빛이 $\displaystyle A$ 에서 출발하여 $\displaystyle C$ 에 도달하면, 빛이 반사할 때 입사각( $\displaystyle \pi/2-\theta_{1}$ )과 반사각( $\displaystyle \pi/2-\theta_{2}$ )이 같기 때문에, $\displaystyle C$ 에서 반사된 빛은 $\displaystyle B$ 로 향하게 된다.

(1) 아래 그림에서와 같이 직선 $\displaystyle L$ 을 사이에 두고 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 있다고 하자. 직선 위의 점 $\displaystyle C$ 에 대하여 $\displaystyle C$ 로부터 두 점 사이의 거리의 차 즉, $\displaystyle \left||\overline{AC}|-|\overline{BC}|\right|$ 가 최대가 되려면 점 $\displaystyle C$ 가 어디에 놓여 있어야 하는지를 논리적으로 설명하시오.Caution. 상수함수인 경우를 빠뜨리지 않도록 주의해야 한다: 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 직선 $\displaystyle L$ 에 대하여 서로 대칭이면, $\displaystyle L$ 위의 모든 점 $\displaystyle C$ 에서 $\displaystyle AC=BC$ 이다. 따라서 거리 차 $\displaystyle |AC-BC|$ 는 항상 $\displaystyle 0$ 이고, 모든 점 $\displaystyle C$ 에서 최댓값 $\displaystyle 0$ 을 갖는다.Comment. 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에서 직선 $\displaystyle L$ 까지의 거리가 같지만 서로 대칭이 아닌 경우에는 거리 차가 최댓값을 갖지 않는다. $\displaystyle A$ 를 $\displaystyle L$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\displaystyle A^{\prime}$ 라 하면, $\displaystyle |AC-BC|$ 는 $\displaystyle A^{\prime}B$ 에 한없이 가까워질 수 있지만 그 값에 도달하지는 않는다.

(2) 평면위의 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 로부터 거리의 차가 일정한 점들로 이루어진 곡선을 쌍곡선이라고 하고, 이 두 점을 쌍곡선의 초점이라고 한다. 쌍곡선의 모양을 따라 거울을 설치하고 한 초점에 불을 지피면 불빛이 타원표면에 설치한 거울에 반사되어 어느 방향으로 진행하는지를 논리적으로 설명하시오. 타원의 광학적 성질을 설명하는 위의 제시문과 같이 기하학적인 논리와 빛의 성질에 근거하여 이 설명을 전개하시오.Correction. ‘타원표면’은 ‘쌍곡선 표면’을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

논술 이차곡선의 반사 성질

관련 개념강의 준비중

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(1) 점 $\displaystyle A$ 를 직선 $\displaystyle L$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\displaystyle A^{\prime}$ 라 하자. 직선 $\displaystyle L$ 위의 점 $\displaystyle C$ 에 대하여 $\displaystyle AC=A^{\prime}C$ 이므로 삼각형의 두 변의 길이 차에 관한 부등식에 의해 $\displaystyle |AC-BC|=|A^{\prime}C-BC|\le A^{\prime}B$ 이다.

두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에서 직선 $\displaystyle L$ 까지의 거리가 다르면 직선 $\displaystyle A^{\prime}B$ 와 $\displaystyle L$ 은 한 점에서 만난다. 그 교점을 $\displaystyle C$ 라 하자. 두 점 $\displaystyle A^{\prime}$ , $\displaystyle B$ 는 직선 $\displaystyle L$ 의 같은 쪽에 있으므로 $\displaystyle C$ 는 선분 $\displaystyle A^{\prime}B$ 의 바깥에 놓인다. 따라서 $\displaystyle |AC-BC|=A^{\prime}B$ 이므로 이 점 $\displaystyle C$ 에서 거리 차가 최대가 된다.

두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에서 직선 $\displaystyle L$ 까지의 거리가 같은 경우에는 다음과 같이 나누어 살펴야 한다. 두 점이 직선 $\displaystyle L$ 에 대하여 서로 대칭이면 $\displaystyle A^{\prime}=B$ 이므로 모든 점 $\displaystyle C$ 에서 거리 차가 $\displaystyle 0$ 이다.

서로 대칭이 아니면 직선 $\displaystyle A^{\prime}B$ 와 $\displaystyle L$ 이 평행하므로 모든 점 $\displaystyle C$ 에서 $\displaystyle |AC-BC|<A^{\prime}B$ 이다. 직선 $\displaystyle L$ 을 $\displaystyle x$ 축으로 잡고 $\displaystyle A^{\prime}=(p,h)$ , $\displaystyle B=(q,h)$ , $\displaystyle C=(x,0)$ 이라 하면 $\displaystyle h\ne0$ , $\displaystyle p\ne q$ 이고 $\displaystyle |AC-BC|=\frac{|(q-p)(2x-p-q)|}{\sqrt{(x-p)^2+h^2}+\sqrt{(x-q)^2+h^2}}\longrightarrow |p-q|=A^{\prime}B\quad(x\to\infty)$ 이다. 따라서 거리 차는 $\displaystyle A^{\prime}B$ 에 한없이 가까워지지만 그 값에 도달하지 않으므로 최댓값을 갖지 않는다.

(2) 초점 $\displaystyle A$ 에서 출발하여 나가는 빛이 쌍곡선 모양의 거울 면에 반사되어 점 $\displaystyle D$ 로 향할 때 최단시간이 걸리는 지점에 대해서 반사하여 점 $\displaystyle D$ 로 향한다.그런데 같은 매질에서는 빛의 속력이 일정하므로 최단시간이 걸리는 경로는 최단거리가 소요되는 경로이다.즉, $\displaystyle \overline{AC^{\prime}}+\overline{C^{\prime}D}$ 가 최단거리가 되는 쌍곡선 위의 점 $\displaystyle C^{\prime}$ 를 다음 관계식을 이용하여 [그림 1]와 같이 점 $\displaystyle C$ 임을 확인할 수 있다. (단, $\displaystyle \overline{BC^{\prime}}-\overline{AC^{\prime}}=k$ , $\displaystyle \overline{BC^{\prime}}+\overline{C^{\prime}D}\ge\overline{BD}$ ) $\displaystyle \overline{AC^{\prime}}+\overline{C^{\prime}D}=\overline{BC^{\prime}}-k+\overline{C^{\prime}D}\ge\overline{BD}-k$ 따라서 초점 $\displaystyle A$ 에서 점 $\displaystyle D$ 를 향하는 빛의 최단시간의 경로는 쌍곡선위의 점 $\displaystyle C$ 를 거쳐 가는 것을 확인할 수 있다.

한편 [그림 1]에서 빛의 성질, 즉 입사각과 반사각이 같음을 다음과 같이 확인할 수 있다.초점 $\displaystyle A$ 에서 점 $\displaystyle D$ 를 향하는 최단거리가 선분 $\displaystyle BD$ 위에 있으므로 초점 $\displaystyle A$ 가 접선에 대해서 대칭하는 점 $\displaystyle A^{\prime}$ 은 선분 $\displaystyle BD$ 위에 있다.[그림 2]과 같이 $\displaystyle \angle ACE=\angle A^{\prime}CE$ 이고 $\displaystyle \angle A^{\prime}CE=\angle FCD$ 이므로 입사각과 반사각이 같다.

[그림 1]와 [그림 2]. 두 초점 A, B를 가진 쌍곡선의 한 가지에서, A에서 나온 빛이 곡선 위의 점 C에서 반사되어 D로 향하는 모습. [그림 2]에는 C에서의 접선과 A의 대칭점 A′, 접선 위의 점 E, F가 함께 그려져 있다.

따라서 쌍곡선의 한 초점 $\displaystyle A$ 에서 나오는 빛은 쌍곡선에서 반사되어 [그림 3]과 같이 마치 다른 초점 $\displaystyle B$ 에서 나오는 것처럼 보인다.즉 쌍곡선의 초점이 있는 안쪽 면을 거울로 두고 한 초점의 위치를 광원에 놓으면 거기서 나오는 모든 빛은 쌍곡선 거울에서 반사하여 또 다른 초점에서 나온 빛처럼 퍼져 나간다.

[그림 3]. 초점 A에서 나온 빛들이 쌍곡선의 한 가지에서 반사되어, 반대쪽 초점 B에서 뻗어 나온 것처럼 퍼져 나가는 모습.

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