자연계열 2번

문제 [2-1]■ $\displaystyle A=\{1\}$, $\displaystyle B=(-\infty,\infty)$ 라면 $\displaystyle x^2+x-f(x)$가 상수여야 한다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^2+x+C$.

■ $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)-2x$ 라고 하자. $\displaystyle p\in A$ 라면 $\displaystyle p=g(x)$인 $\displaystyle x$가 존재하여야 한다.따라서, $\displaystyle p\in A$인 필요조건은 $\displaystyle p$가 $\displaystyle g(x)$의 치역에 들어가는 것이다.예를 들어 $\displaystyle g(x)=e^{-x}$라 하면 $\displaystyle f(x)=x^2-e^{-x}$이고, 이 때 $\displaystyle A=(0,\infty)$임을 확인할 수 있다.

문제 [2-2]■ $\displaystyle (x-a)^2+b-f(x)$가 최솟값 $\displaystyle 0$을 가짐을 유추할 수 있다.따라서 $\displaystyle x^2-2ax-f(x)\geq-a^2-b$ 이므로 $\displaystyle p=-2a$일 때 $\displaystyle F(p)=-a^2-b$이다.

문제 [2-3]■ 상수 $\displaystyle C$가 $\displaystyle f(x)$의 최댓값보다 크다면 모든 실수 $\displaystyle p$에 대하여 부등식 $\displaystyle x^2+px+\frac{p^2}4+C>f(x)$가 성립한다.포물선 $\displaystyle y=x^2+px+\frac{p^2}4+C$ 을 $\displaystyle y$축의 아랫방향으로 평행이동하면 $\displaystyle y=f(x)$와 최초로 만날 것이다.따라서 모든 실수 $\displaystyle p$에 대하여 $\displaystyle F(p)$가 존재하고 $\displaystyle A=(-\infty,\infty)$ 이다.

문제 [2-4]■ 두 직선 $\displaystyle y=ax+b$와 $\displaystyle y=cx+d$의 교점을 $\displaystyle \alpha=\frac{b-d}{c-a}$라 하자.Correction. $\displaystyle \alpha$는 두 직선의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x^2+px-f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle x=\alpha$ 또는 $\displaystyle 2x+p-f^{\prime}(x)=0$인 점에서 발생한다.$\displaystyle 2x+p-f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x+p-c,&x<\alpha\\2x+p-a,&x>\alpha\end{cases}$이므로▶ $\displaystyle x<\alpha$, $\displaystyle 2x+p-c=0$ 이면, $\displaystyle p>c-2\alpha$ 이고, $\displaystyle x=\frac{c-p}2$에서 $\displaystyle x^2+px-f(x)=-\frac{(p-c)^2}4-d$ 이다.▶ $\displaystyle x>\alpha$, $\displaystyle 2x+p-a=0$ 이면, $\displaystyle p>a-2\alpha$ 이고, $\displaystyle x=\frac{a-p}2$에서 $\displaystyle x^2+px-f(x)=-\frac{(a-p)^2}4-b$ 이다.Correction. $\displaystyle x>\alpha$에서 $\displaystyle 2x+p-a=0$이면 $\displaystyle p<a-2\alpha$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.▶ $\displaystyle x=\alpha$ 에서는 $\displaystyle x^2+px-f(x)$의 값은 $\displaystyle \alpha^2+p\alpha-\frac{bc-ad}{c-a}$이다.그런데, $\displaystyle -\frac{(p-c)^2}4-d-\alpha p-\alpha^2+\frac{bc-ad}{c-a}=-\frac14(p+2\alpha-c)^2\leq0$ 이고 마찬가지로$\displaystyle -\frac{(p-a)^2}4-b-\alpha p-\alpha^2+\frac{bc-ad}{c-a}=-\frac14(p+2\alpha-a)^2\leq0$ 이므로$\displaystyle F(p)=\begin{cases}-\frac14(p-a)^2-b,&p<a-2\frac{b-d}{c-a}\\\frac{b-d}{c-a}p+\left(\frac{b-d}{c-a}\right)^2-\frac{bc-ad}{c-a},&a-2\frac{b-d}{c-a}\leq p\leq c-2\frac{b-d}{c-a}\\-\frac14(p-c)^2-d,&p>c-2\frac{b-d}{c-a}\end{cases}$.따라서 $\displaystyle A=(-\infty,\infty)$이다. 또한 $\displaystyle B=(-\infty,\infty)$이다.