수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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연세대 신촌캠퍼스 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2015mo/jayeon_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 실수 전체의 집합 R\displaystyle R을 정의역과 공역으로 갖는 연속 함수이다.포물선 y=x2+px\displaystyle y=x^2+px을 생각하자. 함수 y=x2+px−f(x)\displaystyle y=x^2+px-f(x)는 상수 p\displaystyle p의 값에 따라 최솟값을 가질 수도 가지지 않을 수도 있다. 집합 A\displaystyle A를 다음과 같이 정의한다.A={p∈R∣x2+px−f(x)\displaystyle A=\{p\in R\mid x^2+px-f(x)가 최솟값을 가진다.}\displaystyle \}함수 F(p)\displaystyle F(p)는 p∈A\displaystyle p\in A에 대하여 x2+px−f(x)\displaystyle x^2+px-f(x)의 최솟값을 대응하는 함수이다. 집합 B\displaystyle B를 다음과 같이 정의한다.B={t∈R∣\displaystyle B=\{t\in R\mid어떤 p∈A\displaystyle p\in A에 대하여 x2+px−f(x)\displaystyle x^2+px-f(x)는 x=t\displaystyle x=t에서 최솟값을 갖는다.}\displaystyle \}

(나) 연속 함수 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 부등식 g(x)≥f(x)\displaystyle g(x)\geq f(x)가 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 성립하고 등호는 단 한 점에서만 성립하면 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)가 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 위쪽에서 단 한 번 만난다고 한다.

(다) 두 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 min⁡(a,b)\displaystyle \min(a,b)는 다음과 같이 정의한다.min⁡(a,b)={a,a≤bba>b\displaystyle \min(a,b)=\begin{cases}a,&a\leq b\\b&a>b\end{cases}

[2-1] 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 모든 실수에 대하여 존재하고 또한 연속이라고 가정하자.집합 A={1}\displaystyle A=\{1\}이고 B=(−∞,∞)\displaystyle B=(-\infty,\infty)인 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 모두 찾고 그 이유를 설명하시오.집합 A=(0,∞)\displaystyle A=(0,\infty)인 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 존재하는지를 판단하고 그 이유를 설명하시오. [8점]

[2-2] 포물선 y=x2\displaystyle y=x^2을 x\displaystyle x축과 y\displaystyle y축의 양의 방향으로 각각 a\displaystyle a와 b\displaystyle b만큼 평행이동 하면 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 위쪽에서 단 한 번 만난다고 하자. 이 정보만을 가지고 집합 A\displaystyle A의 원소 p\displaystyle p를 최소한 1개 찾아서 a,b\displaystyle a,b에 대한 식으로 표현하고 F(p)\displaystyle F(p)를 구하시오. [8점]

[2-3] 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 최댓값이 존재한다고 가정하자. 이 때 집합 A\displaystyle A를 구하고 그 이유를 설명하시오. [8점]

[2-4] 함수 f(x)=min⁡(ax+b,cx+d)\displaystyle f(x)=\min(ax+b,cx+d)에 대하여 (단, a<c\displaystyle a<c) 집합 A\displaystyle A와 B\displaystyle B를 찾고, F(p)\displaystyle F(p)를 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d와 p\displaystyle p에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

해설강의 준비중

연세대 신촌캠퍼스 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2015mo/jayeon_2

문제 [2-1]■ A={1}\displaystyle A=\{1\}, B=(−∞,∞)\displaystyle B=(-\infty,\infty) 라면 x2+x−f(x)\displaystyle x^2+x-f(x)가 상수여야 한다. 따라서 f(x)=x2+x+C\displaystyle f(x)=x^2+x+C.

■ g(x)=f′(x)−2x\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)-2x 라고 하자. p∈A\displaystyle p\in A 라면 p=g(x)\displaystyle p=g(x)인 x\displaystyle x가 존재하여야 한다.따라서, p∈A\displaystyle p\in A인 필요조건은 p\displaystyle p가 g(x)\displaystyle g(x)의 치역에 들어가는 것이다.예를 들어 g(x)=e−x\displaystyle g(x)=e^{-x}라 하면 f(x)=x2−e−x\displaystyle f(x)=x^2-e^{-x}이고, 이 때 A=(0,∞)\displaystyle A=(0,\infty)임을 확인할 수 있다.

문제 [2-2]■ (x−a)2+b−f(x)\displaystyle (x-a)^2+b-f(x)가 최솟값 0\displaystyle 0을 가짐을 유추할 수 있다.따라서 x2−2ax−f(x)≥−a2−b\displaystyle x^2-2ax-f(x)\geq-a^2-b 이므로 p=−2a\displaystyle p=-2a일 때 F(p)=−a2−b\displaystyle F(p)=-a^2-b이다.

문제 [2-3]■ 상수 C\displaystyle C가 f(x)\displaystyle f(x)의 최댓값보다 크다면 모든 실수 p\displaystyle p에 대하여 부등식 x2+px+p24+C>f(x)\displaystyle x^2+px+\frac{p^2}4+C>f(x)가 성립한다.포물선 y=x2+px+p24+C\displaystyle y=x^2+px+\frac{p^2}4+C 을 y\displaystyle y축의 아랫방향으로 평행이동하면 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 최초로 만날 것이다.따라서 모든 실수 p\displaystyle p에 대하여 F(p)\displaystyle F(p)가 존재하고 A=(−∞,∞)\displaystyle A=(-\infty,\infty) 이다.

문제 [2-4]■ 두 직선 y=ax+b\displaystyle y=ax+b와 y=cx+d\displaystyle y=cx+d의 교점을 α=b−dc−a\displaystyle \alpha=\frac{b-d}{c-a}라 하자.Correction. α\displaystyle \alpha는 두 직선의 교점의 x\displaystyle x좌표를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.x2+px−f(x)\displaystyle x^2+px-f(x)의 최솟값은 x=α\displaystyle x=\alpha 또는 2x+p−f′(x)=0\displaystyle 2x+p-f^{\prime}(x)=0인 점에서 발생한다.2x+p−f′(x)={2x+p−c,x<α2x+p−a,x>α\displaystyle 2x+p-f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x+p-c,&x<\alpha\\2x+p-a,&x>\alpha\end{cases}이므로▶ x<α\displaystyle x<\alpha, 2x+p−c=0\displaystyle 2x+p-c=0 이면, p>c−2α\displaystyle p>c-2\alpha 이고, x=c−p2\displaystyle x=\frac{c-p}2에서 x2+px−f(x)=−(p−c)24−d\displaystyle x^2+px-f(x)=-\frac{(p-c)^2}4-d 이다.▶ x>α\displaystyle x>\alpha, 2x+p−a=0\displaystyle 2x+p-a=0 이면, p>a−2α\displaystyle p>a-2\alpha 이고, x=a−p2\displaystyle x=\frac{a-p}2에서 x2+px−f(x)=−(a−p)24−b\displaystyle x^2+px-f(x)=-\frac{(a-p)^2}4-b 이다.Correction. x>α\displaystyle x>\alpha에서 2x+p−a=0\displaystyle 2x+p-a=0이면 p<a−2α\displaystyle p<a-2\alpha이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.▶ x=α\displaystyle x=\alpha 에서는 x2+px−f(x)\displaystyle x^2+px-f(x)의 값은 α2+pα−bc−adc−a\displaystyle \alpha^2+p\alpha-\frac{bc-ad}{c-a}이다.그런데, −(p−c)24−d−αp−α2+bc−adc−a=−14(p+2α−c)2≤0\displaystyle -\frac{(p-c)^2}4-d-\alpha p-\alpha^2+\frac{bc-ad}{c-a}=-\frac14(p+2\alpha-c)^2\leq0 이고 마찬가지로−(p−a)24−b−αp−α2+bc−adc−a=−14(p+2α−a)2≤0\displaystyle -\frac{(p-a)^2}4-b-\alpha p-\alpha^2+\frac{bc-ad}{c-a}=-\frac14(p+2\alpha-a)^2\leq0 이므로F(p)={−14(p−a)2−b,p<a−2b−dc−ab−dc−ap+(b−dc−a)2−bc−adc−a,a−2b−dc−a≤p≤c−2b−dc−a−14(p−c)2−d,p>c−2b−dc−a\displaystyle F(p)=\begin{cases}-\frac14(p-a)^2-b,&p<a-2\frac{b-d}{c-a}\\\frac{b-d}{c-a}p+\left(\frac{b-d}{c-a}\right)^2-\frac{bc-ad}{c-a},&a-2\frac{b-d}{c-a}\leq p\leq c-2\frac{b-d}{c-a}\\-\frac14(p-c)^2-d,&p>c-2\frac{b-d}{c-a}\end{cases}.따라서 A=(−∞,∞)\displaystyle A=(-\infty,\infty)이다. 또한 B=(−∞,∞)\displaystyle B=(-\infty,\infty)이다.

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