자연계열 1번

세 양의 실수 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$가 $\displaystyle a+2b+c=4$을 만족하기 때문에 $\displaystyle 4-a$, $\displaystyle 4-b$, $\displaystyle 4-c$는 모두 양수이다.

제시문의 부등식을 이용하면$\displaystyle \frac1{4-a}+\frac1{4-b}+\frac1{4-b}+\frac1{4-c}\geq4\sqrt[4]{\frac1{(4-a)(4-b)(4-b)(4-c)}}$제시문의 부등식을 한 번 더 이용하면$\displaystyle (4-a)+(4-b)+(4-b)+(4-c)\geq4\sqrt[4]{(4-a)(4-b)(4-b)(4-c)}$두 식을 곱하면$\displaystyle ((4-a)+(4-b)+(4-b)+(4-c))\left(\frac1{4-a}+\frac1{4-b}+\frac1{4-b}+\frac1{4-c}\right)\geq16$가정에서 $\displaystyle a+2b+c=4$이므로$\displaystyle (16-a-2b-c)\left(\frac1{4-a}+\frac2{4-b}+\frac1{4-c}\right)=12\left(\frac1{4-a}+\frac2{4-b}+\frac1{4-c}\right)\geq16$$\displaystyle \frac1{4-a}+\frac2{4-b}+\frac1{4-c}\geq\frac43$등호는 $\displaystyle 4-a=4-b=4-c$일 때 성립하므로 $\displaystyle a+2b+c=4$로부터 $\displaystyle a=b=c=1$일 때 성립함을 알 수 있다.