자연계열 3번

[문제3-1]$\displaystyle f(x)-(x-x_0)^2=(a-1)x^2+(2x_0+b)x+c-x_0^2$이다. $\displaystyle |a|<1$이므로 이 함수는 이차항의 계수가 음수인 이차함수이다. 따라서 최댓값이 존재하고, 계산하면 $\displaystyle g(x_0)=c-x_0^2-\frac{(2x_0+b)^2}{4(a-1)}$.

[문제3-2]$\displaystyle f(x)-(x-x_0)^2=\begin{cases}-(x-x_0)^2&(x<0)\\x-(x-x_0)^2&(x\geq0)\end{cases}$이다.함수 $\displaystyle -(x-x_0)^2$은 $\displaystyle x=x_0$에서 최댓값 $\displaystyle 0$을 갖는다.함수 $\displaystyle x-(x-x_0)^2=-\left\{x-\left(x_0+\frac12\right)\right\}^2+x_0+\frac14$은 $\displaystyle x=x_0+\frac12$에서 최댓값 $\displaystyle x_0+\frac14$을 갖는다.따라서 $\displaystyle 0\leq x_0$, $\displaystyle x_0<0\leq x_0+\frac12$, $\displaystyle x_0+\frac12<0$의 경우로 나누어 보자.

(1) $\displaystyle x_0+\frac12<0$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f(x_0)=0$과 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$ 중 더 큰 값인 $\displaystyle 0$이다.Comment. 여기서 함숫값을 비교하는 대상은 원래 함수 $\displaystyle f(x)$가 아니라 $\displaystyle f(x)-(x-x_0)^2$이다. 따라서 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$라고 쓴 것은 원래 함수 $\displaystyle f$의 값을 뜻하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) $\displaystyle x_0<0\leq x_0+\frac12$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f(x_0)=0$과 $\displaystyle f\left(x_0+\frac12\right)=x_0+\frac14$ 중 더 큰 값이다.$\displaystyle -\frac12\leq x_0<-\frac14$인 경우는 $\displaystyle 0$이고 $\displaystyle -\frac14\leq x_0<0$인 경우는 $\displaystyle x_0+\frac14$이다.

(3) $\displaystyle 0\leq x_0$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$과 $\displaystyle f\left(x_0+\frac12\right)=x_0+\frac14$ 중 더 큰 값인 $\displaystyle x_0+\frac14$이다.

이를 종합하면, $\displaystyle g(x_0)=\begin{cases}0&\left(x_0<-\frac14\right)\\x_0+\frac14&\left(x_0\geq-\frac14\right)\end{cases}$

[문제3-3]$\displaystyle f(x)-(x-x_0)^2=\begin{cases}ax-(x-x_0)^2&(x<0)\\bx-(x-x_0)^2&(x\geq0)\end{cases}$이다.

함수 $\displaystyle ax-(x-x_0)^2=-\left\{x-\left(x_0+\frac a2\right)\right\}^2+ax_0+\frac{a^2}4$은 $\displaystyle x=x_0+\frac a2$에서 최댓값 $\displaystyle ax_0+\frac{a^2}4$을 갖는다.마찬가지로 함수 $\displaystyle bx-(x-x_0)^2$은 $\displaystyle x=x_0+\frac b2$에서 최댓값 $\displaystyle bx_0+\frac{b^2}4$을 갖는다.$\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 서로 다른 상수이므로 $\displaystyle a<b$인 경우와 $\displaystyle a>b$인 경우를 나누어 생각하자.(1) $\displaystyle a<b$인 경우

위에서와 마찬가지로 $\displaystyle 0\leq x_0+\frac a2$, $\displaystyle x_0+\frac a2<0\leq x_0+\frac b2$, $\displaystyle x_0+\frac b2<0$의 경우로 나누어 보자.

(1a) $\displaystyle 0\leq x_0+\frac a2$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$과 $\displaystyle f\left(x_0+\frac b2\right)=bx_0+\frac{b^2}4$ 중 더 큰 값인 $\displaystyle bx_0+\frac{b^2}4$이다.

(1b) $\displaystyle x_0+\frac a2<0\leq x_0+\frac b2$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f\left(x_0+\frac a2\right)=ax_0+\frac{a^2}4$과 $\displaystyle f\left(x_0+\frac b2\right)=bx_0+\frac{b^2}4$ 중 더 큰 값이다.$\displaystyle -\frac b2\leq x_0<-\frac{a+b}4$인 경우는 $\displaystyle ax_0+\frac{a^2}4$이고 $\displaystyle -\frac{a+b}4\leq x_0<-\frac a2$인 경우는 $\displaystyle bx_0+\frac{b^2}4$이다.

(1c) $\displaystyle x_0+\frac b2<0$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f\left(x_0+\frac a2\right)=ax_0+\frac{a^2}4$과 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$ 중 더 큰 값인 $\displaystyle ax_0+\frac{a^2}4$이다.이를 종합하면, $\displaystyle g(x_0)=\begin{cases}ax_0+\frac{a^2}4&\left(x_0<-\frac{a+b}4\right)\\bx_0+\frac{b^2}4&\left(x_0\geq-\frac{a+b}4\right)\end{cases}$

(2) $\displaystyle a>b$인 경우마찬가지 방법으로 다음 세 가지 경우를 생각하자(2a) $\displaystyle 0\leq x_0+\frac b2$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$과 $\displaystyle f\left(x_0+\frac b2\right)=bx_0+\frac{b^2}4$ 중 더 큰 값인 $\displaystyle bx_0+\frac{b^2}4$이다.

(2b) $\displaystyle x_0+\frac b2<0\leq x_0+\frac a2$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$이다.

(2c) $\displaystyle x_0+\frac a2<0$: $\displaystyle g(x_0)$은 $\displaystyle f\left(x_0+\frac a2\right)=ax_0+\frac{a^2}4$과 $\displaystyle f(0)=-x_0^2$ 중 더 큰 값인 $\displaystyle ax_0+\frac{a^2}4$이다.

이를 종합하면, $\displaystyle g(x_0)=\begin{cases}ax_0+\frac{a^2}4&\left(x_0<-\frac a2\right)\\-x_0^2&\left(-\frac a2\leq x_0<-\frac b2\right)\\bx_0+\frac{b^2}4&\left(-\frac b2\leq x_0\right)\end{cases}$

[문제3-4]위에서 구한 함수 $\displaystyle y=g(x)$를 살펴보면 모든 실수에서 연속이다.$\displaystyle a<b$인 경우에, 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle x=-\frac{a+b}4$에서 미분가능하지 않다. 그러나 $\displaystyle a>b$인 경우에는 모든 실수에서 미분가능하다.따라서 함수 $\displaystyle y=g(x)$가 모든 실수에서 미분 가능할 필요충분조건은 $\displaystyle a>b$이다.