함수의 극한

TMI. 입실론–델타 논법과 극한의 정의‘한없이 가까워진다’를 오차의 크기로 표현하는 방법이 입실론–델타 논법이다. $\displaystyle \varepsilon$(입실론)은 함수값 $\displaystyle f(x)$와 극한값 $\displaystyle L$ 사이에 허용하는 오차이고, $\displaystyle \delta$(델타)는 그 오차를 보장하기 위해 $\displaystyle x$와 $\displaystyle a$ 사이에 정하는 거리의 범위다.함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 $\displaystyle x=a$를 제외하고 정의되어 있을 때, 임의의 양수 $\displaystyle \varepsilon$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양수 $\displaystyle \delta$가 존재하면 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$이라고 정의한다.$\displaystyle 0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon$이 조건은 그 구간에서 $\displaystyle 0<|x-a|<\delta$인 모든 $\displaystyle x$에 대해 성립해야 한다. 원하는 오차 $\displaystyle \varepsilon$을 아무리 작게 정해도, $\displaystyle x$를 $\displaystyle a$에 충분히 가까이 두면 함수값이 그 오차 안에 들어오게 할 수 있다는 뜻이다.먼저 $\displaystyle \varepsilon$이 주어지고, 그에 맞추어 $\displaystyle \delta$를 정한다는 순서가 중요하다. 또한 $\displaystyle 0<|x-a|$로 $\displaystyle x=a$를 제외하므로, $\displaystyle f(a)$의 값이나 정의 여부는 이 극한의 정의와 관계없다.

TMI. 무한대로 발산하는 극한의 정의함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 $\displaystyle x=a$를 제외하고 정의되어 있을 때, 임의의 실수 $\displaystyle M$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양수 $\displaystyle \delta$가 존재하면 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty$라고 정의한다.$\displaystyle 0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M$이 조건은 그 구간에서 $\displaystyle 0<|x-a|<\delta$인 모든 $\displaystyle x$에 대해 성립해야 한다. 기준값 $\displaystyle M$을 아무리 크게 정해도, $\displaystyle a$와 다른 $\displaystyle x$를 $\displaystyle a$에 충분히 가까이 두면 함수값이 그 기준값보다 커지게 할 수 있다는 뜻이다.

TMI. 무한대에서 수렴하는 극한의 정의함수 $\displaystyle f$가 충분히 큰 모든 실수 $\displaystyle x$에서 정의되어 있을 때, 임의의 양수 $\displaystyle \varepsilon$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle A$가 존재하면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L$이라고 정의한다.$\displaystyle x>A\quad\Longrightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon$이 조건은 정의역에서 $\displaystyle x>A$인 모든 $\displaystyle x$에 대해 성립해야 한다. 원하는 오차 $\displaystyle \varepsilon$을 아무리 작게 정해도, $\displaystyle x$가 충분히 커진 뒤에는 함수값이 계속 그 오차 안에 머물게 할 수 있다는 뜻이다.

TMI. 무한대에서 발산하는 극한의 정의함수 $\displaystyle f$가 충분히 큰 모든 실수 $\displaystyle x$에서 정의되어 있을 때, 임의의 실수 $\displaystyle M$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle A$가 존재하면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$라고 정의한다.$\displaystyle x>A\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M$이 조건은 정의역에서 $\displaystyle x>A$인 모든 $\displaystyle x$에 대해 성립해야 한다. 기준값 $\displaystyle M$을 아무리 크게 정해도, $\displaystyle x$가 충분히 커진 뒤에는 함수값이 계속 그 기준값보다 커지게 할 수 있다는 뜻이다.음의 무한대와 좌극한·우극한도 부등식의 방향이나 $\displaystyle x$의 범위를 바꾸어 같은 방식으로 정의할 수 있다.