자연계열 2번

[문제 2-1]

(풀이)

(1) 명백히 $\displaystyle m\ne0$이다. 직선의 방정식을 $\displaystyle x$에 대해 다시 쓰면 $\displaystyle x=\frac1my-\frac km$이다. 이것과 포물선의 방정식을 연립하여 2차방정식 $\displaystyle ay^2+\left(b-\frac1m\right)y+\left(c+\frac km\right)=0$을 얻게 된다. 이 2차방정식이 중근을 가지면 되므로 구하는 등식은 판별식에 의해

$\displaystyle \left(b-\frac1m\right)^2-4a\left(c+\frac km\right)=0$ 또는 $\displaystyle (mb-1)^2-4ma(mc+k)=0$ 이다.

(2) 위에서 구한 등식에 $\displaystyle a=-1,\;b=c=0,\;m=1$을 대입하면, $\displaystyle 1+4k=0$을 얻을 수 있고 이것으로부터 $\displaystyle k=-\frac14$을 얻게 된다. 따라서 구하는 접선의 방정식은

$\displaystyle y=x-\frac14$ 이다.

(3) 직선 $\displaystyle y=x-\frac14$이 원 $\displaystyle (x-p)^2+y^2=1$에 접하면 되므로, 제시문 (나)의 (수식 2)에

$\displaystyle q=0,\;r=1,\;m=1,\;k=-\frac14$를 대입하여 $\displaystyle 2=\left(p-\frac14\right)^2$을 얻을 수 있고, 이로부터

$\displaystyle p=\sqrt2+\frac14$ 을 얻게 된다.

[문제 2-2]

(풀이)

(1) 선분 $\displaystyle PQ$의 중점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac t2,0\right)$이고, 선분 $\displaystyle PQ$의 기울기는 $\displaystyle -\frac2t$이므로 직선 $\displaystyle \ell_t$는 점 $\displaystyle \left(\frac t2,0\right)$을 지나고 기울기 $\displaystyle \frac t2$인 직선이며 이 직선의 방정식은Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: 점 $\displaystyle \mathrm Q(t,-1)$의 $\displaystyle t$는 임의의 실수이므로 $\displaystyle t=0$도 가능하다. 이때 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 수직이어서 기울기 $\displaystyle -\frac2t$를 사용할 수 없다. $\displaystyle t=0$에서는 수직이등분선이 $\displaystyle y=0$임을 따로 확인하면, 최종 식 $\displaystyle y=\frac t2x-\frac{t^2}4$은 이 경우에도 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle y=\frac t2x-\frac{t^2}4$ 이다.

(2) 포물선 $\displaystyle C$의 방정식을 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$라 두자. 직선 $\displaystyle \ell_t$가 이 포물선에 접하려면 제시문 (나)의 (수식 1)에 의해

$\displaystyle \left(b-\frac t2\right)^2-4a\left(c+\frac{t^2}4\right)=0$

이 성립해야 한다. 이 등식을 $\displaystyle t$에 관한 식으로 정리하면

$\displaystyle \left(\frac14-a\right)t^2-bt+(b^2-4ac)=0$

이 되므로, 이것이 모든 $\displaystyle t$에 대해 성립하려면 모든 계수가 0이면 된다. 따라서, $\displaystyle a=\frac14,\;b=0,\;c=0$이 되고, 구하는 포물선 $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac14x^2$ 이다.

(3) 포물선 $\displaystyle C$위의 임의의 점 $\displaystyle \left(s,\frac{s^2}4\right)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=mx+\frac{s^2}4-ms$이다. 이 직선이 포물선 $\displaystyle C$에 접하려면 제시문 (나)의 (수식 1)에 의해 $\displaystyle m^2+\frac{s^2}4-ms=0$이 성립해야 하므로 $\displaystyle m=\frac s2$이다. 따라서 포물선 $\displaystyle C$ 위의 임의의 점 $\displaystyle \left(s,\frac{s^2}4\right)$에서 접하는 직선의 방정식은

$\displaystyle y=\frac s2x-\frac{s^2}4$

이고, 이것은 $\displaystyle t=s$에 대한 직선 $\displaystyle \ell_t$가 된다.

[문제 2-3]

(풀이)

(1) $\displaystyle P$와 $\displaystyle C$의 접점을 $\displaystyle F$, 접선과 $\displaystyle x$-축의 교점을 $\displaystyle G$, $\displaystyle C$가 $\displaystyle x$-축과 접하는 점을 $\displaystyle H$라 두자.

$\displaystyle F$의 좌표가 $\displaystyle (t,t^2)$이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2tx-t^2$이고 $\displaystyle G$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac t2,0\right)$이다. 그리고, $\displaystyle H$의 좌표는 $\displaystyle (p,0)$이다. 원 $\displaystyle C$의 방정식이 $\displaystyle (x-p)^2+(y-q)^2=q^2$이고 점 $\displaystyle F$가 원 $\displaystyle C$ 위에 있어야 하므로

식1 $\displaystyle (t-p)^2+(t^2-q)^2=q^2$

이 성립하고, 두 선분 $\displaystyle GH$와 $\displaystyle GF$의 길이가 같으므로

식2 $\displaystyle p-\frac t2=\sqrt{\left(t-\frac t2\right)^2+(t^2)^2}$

이 성립한다. 이 두 식을 연립하여 풀면

$\displaystyle p=\frac t2(1+\sqrt{1+4t^2}),\qquad q=t^2+\frac14(1-\sqrt{1+4t^2})$ 이다.

(2) $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac pq=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac t2(1+\sqrt{1+4t^2})}{t^2+\frac14(1-\sqrt{1+4t^2})}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac12\left(\frac1t+\sqrt{\frac1{t^2}+4}\right)}{1+\frac1{4t}\left(\frac1t-\sqrt{\frac1{t^2}+4}\right)}=1.$