논술 포락선

＊포락선

매개변수에 따라 움직이는 직선이나 곡선에 차례로 접하면서,그 접점들이 이루는 곡선을 포락선이라 한다.움직이는 직선들을 그려 놓았을 때, 이 직선들이 감싸는 경계에서 포락선을 볼 수 있다.

＊포락선을 구하는 원리

서로 가까운 매개변수에 대응하는 두 직선의 교점을 생각하자.두 매개변수의 차이를 0으로 보낼 때,교점이 다가가는 점을 찾아 포락선의 접점을 구할 수 있다.계산으로 얻은 점들이 실제로 곡선을 이루는지, 각 직선이 그 곡선에 접하는지 확인한다.

＊직선의 포락선

움직이는 직선의 방정식이$\displaystyle y=a(t)x+b(t)$이고, 포락선과의 접점이 $\displaystyle (X(t),Y(t))$라 하자.접점이 직선 위에 있으므로$\displaystyle Y(t)=a(t)X(t)+b(t)$이다. 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면$\displaystyle Y^{\prime}(t)=a^{\prime}(t)X(t)+a(t)X^{\prime}(t)+b^{\prime}(t)$이다.

한편 포락선의 접선 기울기도 $\displaystyle a(t)$이므로$\displaystyle Y^{\prime}(t)=a(t)X^{\prime}(t)$이다. 두 식을 비교하면$\displaystyle a^{\prime}(t)X(t)+b^{\prime}(t)=0$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle a^{\prime}(t)\ne0$인 곳에서는$\displaystyle X(t)=-\frac{b^{\prime}(t)}{a^{\prime}(t)},\qquad Y(t)=a(t)X(t)+b(t)$로 접점을 구하고, $\displaystyle t$를 소거하여 포락선의 방정식을 구한다.

이 과정은 접점이 매끄럽게 움직이고, $\displaystyle (X^{\prime}(t),Y^{\prime}(t))\ne(0,0)$인 부분에 적용한다.구한 곡선에 원래 직선이 실제로 접하는지와 매개변수의 범위를 확인한다.선분이 움직이는 문제에서는 접점이 선분 위에 있는지도 확인하며,선분의 끝점이 그리는 자취도 영역의 경계가 될 수 있다.

＊여러 곡선이 만드는 경계

상수 $\displaystyle s$의 값에 따라 달라지는 곡선 $\displaystyle y=\phi(x,s)$에서 $\displaystyle x$를 고정하고 $\displaystyle s$를 움직이면 곡선들의 높이를 비교할 수 있다.최솟값을 실제로 갖는 경우, 아래쪽 경계의 후보는$\displaystyle E(x)=\min_s\phi(x,s)$이다. 최적의 매개변수가 내부점 $\displaystyle s=v(x)$이고 미분가능하게 움직이면$\displaystyle \phi_s(x,v(x))=0,\qquad E^{\prime}(x)=\phi_x(x,v(x))$이다. 여기서 $\displaystyle \phi_s$는 $\displaystyle x$를 고정하고 $\displaystyle s$에 대하여 미분한 식,$\displaystyle \phi_x$는 $\displaystyle s$를 고정하고 $\displaystyle x$에 대하여 미분한 식이다.두 번째 식은 경계와 해당 곡선의 접선 기울기가 같다는 뜻이다.최적값의 미분과 기하적 포락선은 이처럼 같은 원리로 연결된다.

＊일반적인 포락선의 후보

상수 $\displaystyle s$의 값에 따라 달라지는 곡선의 방정식을 $\displaystyle G(x,y,s)=0$으로 나타내고, 포락선의 접점을 $\displaystyle (X(s),Y(s))$라 하자.$\displaystyle G_x$, $\displaystyle G_y$, $\displaystyle G_s$는 각각 나머지 두 문자를 고정하고 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle s$에 대하여 미분한 식이다.이 세 함수가 모두 연속이고 $\displaystyle (G_x,G_y)\ne(0,0)$인 접점에서,접점이 미분가능하게 움직이고 $\displaystyle (X^{\prime}(s),Y^{\prime}(s))\ne(0,0)$이며,포락선과 원래 곡선이 그 점에서 같은 접선을 갖는다고 가정한다.접점 조건을 미분하면$\displaystyle G_xX^{\prime}+G_yY^{\prime}+G_s=0$이다. 한편 접선 방향이 같으므로 $\displaystyle G_xX^{\prime}+G_yY^{\prime}=0$이다. 따라서$\displaystyle \boxed{G(x,y,s)=0,\qquad G_s(x,y,s)=0}$을 얻는다. 여기서 $\displaystyle G_s$는 $\displaystyle x,y$를 고정한 채 $\displaystyle s$로 미분한 식이다.

＊연결 예제

아주대 2010학년도 수시 2차 자연계열 2번 (2-2) · 수직이등분선들의 포락선

경희대 2021학년도 수시 의학계 오전 1번 (I-1 (2)) · 여러 곡선이 덮는 영역

＊논술 답안으로 마무리하기

포락선의 방정식을 구했다면 원래 직선이나 곡선이 실제로 접하는지 확인한다.움직이는 도형이 덮는 영역을 묻는다면, 얻어지는 모든 점이 그 영역에 속하는지와그 영역의 모든 점을 실제로 얻을 수 있는지를 모두 보인다.매개변수의 범위와 변수 치환에서 빠진 경우도 확인한다.