수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

논술 포락선

강의 노트

＊포락선

매개변수에 따라 움직이는 직선이나 곡선에 차례로 접하면서,그 접점들이 이루는 곡선을 포락선이라 한다.움직이는 직선들을 그려 놓았을 때, 이 직선들이 감싸는 경계에서 포락선을 볼 수 있다.

＊포락선을 구하는 원리

서로 가까운 매개변수에 대응하는 두 직선의 교점을 생각하자.두 매개변수의 차이를 0으로 보낼 때,교점이 다가가는 점을 찾아 포락선의 접점을 구할 수 있다.계산으로 얻은 점들이 실제로 곡선을 이루는지, 각 직선이 그 곡선에 접하는지 확인한다.

＊직선의 포락선

움직이는 직선의 방정식이y=a(t)x+b(t)\displaystyle y=a(t)x+b(t)이고, 포락선과의 접점이 (X(t),Y(t))\displaystyle (X(t),Y(t))라 하자.접점이 직선 위에 있으므로Y(t)=a(t)X(t)+b(t)\displaystyle Y(t)=a(t)X(t)+b(t)이다. 양변을 t\displaystyle t에 대하여 미분하면Y′(t)=a′(t)X(t)+a(t)X′(t)+b′(t)\displaystyle Y^{\prime}(t)=a^{\prime}(t)X(t)+a(t)X^{\prime}(t)+b^{\prime}(t)이다.

한편 포락선의 접선 기울기도 a(t)\displaystyle a(t)이므로Y′(t)=a(t)X′(t)\displaystyle Y^{\prime}(t)=a(t)X^{\prime}(t)이다. 두 식을 비교하면a′(t)X(t)+b′(t)=0\displaystyle a^{\prime}(t)X(t)+b^{\prime}(t)=0을 얻는다. 따라서 a′(t)≠0\displaystyle a^{\prime}(t)\ne0인 곳에서는X(t)=−b′(t)a′(t),Y(t)=a(t)X(t)+b(t)\displaystyle X(t)=-\frac{b^{\prime}(t)}{a^{\prime}(t)},\qquad Y(t)=a(t)X(t)+b(t)로 접점을 구하고, t\displaystyle t를 소거하여 포락선의 방정식을 구한다.

이 과정은 접점이 매끄럽게 움직이고, (X′(t),Y′(t))≠(0,0)\displaystyle (X^{\prime}(t),Y^{\prime}(t))\ne(0,0)인 부분에 적용한다.구한 곡선에 원래 직선이 실제로 접하는지와 매개변수의 범위를 확인한다.선분이 움직이는 문제에서는 접점이 선분 위에 있는지도 확인하며,선분의 끝점이 그리는 자취도 영역의 경계가 될 수 있다.

＊여러 곡선이 만드는 경계

상수 s\displaystyle s의 값에 따라 달라지는 곡선 y=ϕ(x,s)\displaystyle y=\phi(x,s)에서 x\displaystyle x를 고정하고 s\displaystyle s를 움직이면 곡선들의 높이를 비교할 수 있다.최솟값을 실제로 갖는 경우, 아래쪽 경계의 후보는E(x)=min⁡sϕ(x,s)\displaystyle E(x)=\min_s\phi(x,s)이다. 최적의 매개변수가 내부점 s=v(x)\displaystyle s=v(x)이고 미분가능하게 움직이면ϕs(x,v(x))=0,E′(x)=ϕx(x,v(x))\displaystyle \phi_s(x,v(x))=0,\qquad E^{\prime}(x)=\phi_x(x,v(x))이다. 여기서 ϕs\displaystyle \phi_s는 x\displaystyle x를 고정하고 s\displaystyle s에 대하여 미분한 식,ϕx\displaystyle \phi_x는 s\displaystyle s를 고정하고 x\displaystyle x에 대하여 미분한 식이다.두 번째 식은 경계와 해당 곡선의 접선 기울기가 같다는 뜻이다.최적값의 미분과 기하적 포락선은 이처럼 같은 원리로 연결된다.

＊일반적인 포락선의 후보

상수 s\displaystyle s의 값에 따라 달라지는 곡선의 방정식을 G(x,y,s)=0\displaystyle G(x,y,s)=0으로 나타내고, 포락선의 접점을 (X(s),Y(s))\displaystyle (X(s),Y(s))라 하자.Gx\displaystyle G_x, Gy\displaystyle G_y, Gs\displaystyle G_s는 각각 나머지 두 문자를 고정하고 x\displaystyle x, y\displaystyle y, s\displaystyle s에 대하여 미분한 식이다.이 세 함수가 모두 연속이고 (Gx,Gy)≠(0,0)\displaystyle (G_x,G_y)\ne(0,0)인 접점에서,접점이 미분가능하게 움직이고 (X′(s),Y′(s))≠(0,0)\displaystyle (X^{\prime}(s),Y^{\prime}(s))\ne(0,0)이며,포락선과 원래 곡선이 그 점에서 같은 접선을 갖는다고 가정한다.접점 조건을 미분하면GxX′+GyY′+Gs=0\displaystyle G_xX^{\prime}+G_yY^{\prime}+G_s=0이다. 한편 접선 방향이 같으므로 GxX′+GyY′=0\displaystyle G_xX^{\prime}+G_yY^{\prime}=0이다. 따라서G(x,y,s)=0,Gs(x,y,s)=0\displaystyle \boxed{G(x,y,s)=0,\qquad G_s(x,y,s)=0}을 얻는다. 여기서 Gs\displaystyle G_s는 x,y\displaystyle x,y를 고정한 채 s\displaystyle s로 미분한 식이다.

Caution. 이 연립식은 포락선의 후보를 찾는 조건이다. 실제 접선 관계, 매개변수 범위, 끝점과 특이점을 확인해야 한다. 특히 움직이는 곡선 전체가 만드는 영역을 묻는다면, 모든 점이 그 영역에 들어감과 그 영역의 모든 점이 실제로 얻어짐을 모두 증명한다.

연결 예제 1 · 수직이등분선들의 포락선아주대 2010학년도 수시 2차 문제 2-2 · 조건 재구성
문제

P(0,1)\displaystyle \mathrm{P}(0,1)와 Q(s,−1)\displaystyle \mathrm{Q}(s,-1) 사이의 수직이등분선을 ℓs\displaystyle \ell_s라 하자. s\displaystyle s가 모든 실수를 움직일 때, ℓs\displaystyle \ell_s의 포락선을 구하고 각 직선과의 접선 관계를 증명하여라.

해설

두 점까지의 거리가 같은 점 (x,y)\displaystyle (x,y)의 조건은x2+(y−1)2=(x−s)2+(y+1)2\displaystyle x^2+(y-1)^2=(x-s)^2+(y+1)^2이므로 ℓs:y=sx/2−s2/4\displaystyle \ell_s:y=sx/2-s^2/4이다. s\displaystyle s에 대한 미분 조건 x/2−s/2=0\displaystyle x/2-s/2=0에서 s=x\displaystyle s=x이다.이를 대입하면 후보는 C:y=x2/4\displaystyle C:y=x^2/4이다.

C\displaystyle C 위의 점 (s,s2/4)\displaystyle (s,s^2/4)에서 접선의 기울기는 s/2\displaystyle s/2이고 접선의 식은y−s24=s2(x−s)\displaystyle y-\frac{s^2}4=\frac s2(x-s)로서 ℓs\displaystyle \ell_s와 같다. 모든 실수 s\displaystyle s가 허용되므로 C\displaystyle C의 모든 점에서 해당 직선을 얻는다.따라서 C\displaystyle C는 포락선이다. 또한x24−(s2x−s24)=(x−s)24≥0\displaystyle \frac{x^2}4-\left(\frac s2x-\frac{s^2}4\right)=\frac{(x-s)^2}4\ge0이며, 고정된 x\displaystyle x에서 오른쪽은 모든 0 이상의 값을 가질 수 있다.그러므로 여러 직선이 덮는 영역은 정확히 y≤x2/4\displaystyle y\le x^2/4이다.

연결 예제 2 · 여러 곡선이 덮는 영역경희대 2021학년도 의학계 오전 논제 I-1 (2) · 조건 재구성
문제

0≤θ≤π\displaystyle 0\le\theta\le\pi, r∈R\displaystyle r\in\mathbb R에 대하여x=rcos⁡θ,y=r2−rsin⁡θ\displaystyle x=r\cos\theta,\qquad y=r^2-r\sin\theta로 얻는 점들의 영역을 y≥ax2+c\displaystyle y\ge ax^2+c로 나타내고, 양방향 포함 관계를 증명하여라.

해설

x≠0\displaystyle x\ne0이면 cos⁡θ≠0\displaystyle \cos\theta\ne0이므로 s=tan⁡θ\displaystyle s=\tan\theta로 치환하여y=x2(1+s2)−xs=x2−14+(xs−12)2\displaystyle y=x^2(1+s^2)-xs=x^2-\frac14+\left(xs-\frac12\right)^2을 얻는다. x\displaystyle x를 고정하면 s=1/(2x)\displaystyle s=1/(2x)에서 최소이므로 경계의 후보는 y=x2−1/4\displaystyle y=x^2-1/4이다.하지만 이 계산만으로 x=0\displaystyle x=0까지 처리한 것은 아니다.

모든 점이 부등식을 만족함. 원래 식을 이용하면 나눗셈 없이y−x2+14=r2sin⁡2θ−rsin⁡θ+14=(rsin⁡θ−12)2≥0\displaystyle y-x^2+\frac14=r^2\sin^2\theta-r\sin\theta+\frac14=\left(r\sin\theta-\frac12\right)^2\ge0이다. 따라서 모든 점에서 y≥x2−1/4\displaystyle y\ge x^2-1/4이다.

부등식을 만족하는 모든 점이 얻어짐. q≥p2−1/4\displaystyle q\ge p^2-1/4인 (p,q)\displaystyle (p,q)를 잡자.p≠0\displaystyle p\ne0이면s=1/2+q−p2+1/4p\displaystyle s=\frac{1/2+\sqrt{q-p^2+1/4}}p로 놓고, tan⁡θ=s\displaystyle \tan\theta=s인 θ∈[0,π]\displaystyle \theta\in[0,\pi]를 택한다.r=p/cos⁡θ\displaystyle r=p/\cos\theta로 두면 위 완전제곱식에 의해 정확히 (p,q)\displaystyle (p,q)를 얻는다.p=0\displaystyle p=0이면 θ=π/2\displaystyle \theta=\pi/2로 놓는다. 이때 x=0\displaystyle x=0, y=r2−r\displaystyle y=r^2-r이고,q≥−1/4\displaystyle q\ge-1/4이므로 r=1/2+q+1/4\displaystyle r=1/2+\sqrt{q+1/4}를 택하면 된다.따라서 영역은 정확히 y≥x2−1/4\displaystyle y\ge x^2-1/4이고 a=1\displaystyle a=1, c=−1/4\displaystyle c=-1/4이다.

Caution. s=tan⁡θ\displaystyle s=\tan\theta로 치환할 때 θ=π/2\displaystyle \theta=\pi/2인 경우가 빠지므로 따로 확인해야 한다.원래 식에 θ=π/2\displaystyle \theta=\pi/2를 대입하면 x=0, y=r2−r\displaystyle x=0,\ y=r^2-r이므로 x=0, y≥−1/4\displaystyle x=0,\ y\ge-1/4인 점들도 모두 얻어진다.

＊논술 답안으로 마무리하기

포락선의 방정식을 구했다면 원래 직선이나 곡선이 실제로 접하는지 확인한다.움직이는 도형이 덮는 영역을 묻는다면, 얻어지는 모든 점이 그 영역에 속하는지와그 영역의 모든 점을 실제로 얻을 수 있는지를 모두 보인다.매개변수의 범위와 변수 치환에서 빠진 경우도 확인한다.

개념강의 준비중

먼저 볼 개념

다항함수의 미분법 · 접선의 방정식

이 개념만 나오는 문제

경희대 · 2020학년도 모의 · 의학계 1번(Ⅰ-2·Ⅰ-3)아주대 · 2010학년도 수시 · 자연계열 2번(2-2)

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