자연계열 1번

[해답 1-1] (1) 점 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle S$의 임의의 점이면 등식$\displaystyle y=f(x)\quad\cdots\;①$가 성립한다. 점 $\displaystyle (p,q)$에 대한 $\displaystyle (x,y)$의 대칭점을 $\displaystyle (s,t)$라 하면, $\displaystyle s=2p-x$, $\displaystyle t=2q-y$이다. $\displaystyle S$가 $\displaystyle (p,q)$에 대해 대칭이면 $\displaystyle (s,t)$가 $\displaystyle S$에 속하는 점이 되므로 등식 $\displaystyle t=f(s)$가 성립한다. 따라서,$\displaystyle 2q-y=f(2p-x)\quad\cdots\;②$가 성립하고, ①과 ②로부터 $\displaystyle 2q-f(x)=f(2p-x)$가 성립한다.

(2) $\displaystyle S$의 임의의 점을 $\displaystyle (x,y)$라 하고, $\displaystyle \ell$에 대한 대칭점을 $\displaystyle (s,t)$라 하면,$\displaystyle \begin{cases}\frac{t+y}2=m\cdot\frac{s+x}2+k\\\frac{t-y}{s-x}=-\frac1m\end{cases}$이 성립한다. 이를 $\displaystyle s$와 $\displaystyle t$에 대해 풀면,$\displaystyle s=\frac1{1+m^2}((1-m^2)x+2my-2mk),$$\displaystyle t=\frac1{1+m^2}(2mx+(m^2-1)y+2k)$이다. $\displaystyle (x,y)$와 $\displaystyle (s,t)$가 $\displaystyle S$에 속하는 점이므로 $\displaystyle y=f(x)$이고 $\displaystyle t=f(s)$이다. 따라서 구하는 조건은$\displaystyle y=f(x),$$\displaystyle \frac1{1+m^2}(2mx+(m^2-1)y+2k)=f\left(\frac1{1+m^2}((1-m^2)x+2my-2mk)\right)$또는$\displaystyle \frac1{1+m^2}(2mx+(m^2-1)f(x)+2k)=f\left(\frac1{1+m^2}((1-m^2)x+2mf(x)-2mk)\right)$이다.

[해답 1-2] $\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라 두자. 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(2p-x)+f(x)-2q=0$이되는 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$가 존재함을 보이면 된다.$\displaystyle f(2p-x)+f(x)-2q=(6ap+2b)x^2-(12ap^2+4bp)x+8ap^3+4bp^2+2cp+2d-2q$이므로$\displaystyle 6ap+2b=0,\;12ap^2+4bp=0,\;8ap^3+4bp^2+2cp+2d-2q=0$을 동시에 만족하는 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$가$\displaystyle p=-\frac b{3a},\quad q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^2}$으로 존재하므로 3차함수의 그래프는 항상 점대칭이다.

[해답 1-3] (1) $\displaystyle x$-축 상에 한 점 $\displaystyle A$를 잡고 $\displaystyle A$를 지나 $\displaystyle x$-축에 수직인 직선이 직선 $\displaystyle y=x$, 직선 $\displaystyle \ell$과 만나는 점을 각각 $\displaystyle B,C$라 하자.

그러면, 원점을 $\displaystyle O$라 할 때, $\displaystyle \angle ABO=\angle BOC+\angle BCO$이고 $\displaystyle \angle ABO=\frac\pi4$, $\displaystyle \angle BOC=\frac\pi8$이므로 $\displaystyle \angle BCO=\frac\pi8=\angle BOC$이다. 따라서 $\displaystyle \triangle OBC$는 이등변 삼각형이고 $\displaystyle OB=BC$이다. 이제, $\displaystyle AB=OA$, $\displaystyle OB=\sqrt2\,OA$이므로, 직선 $\displaystyle \ell$의 기울기 $\displaystyle m$은$\displaystyle m=\frac{AC}{OA}=\frac{AB+BC}{OA}=\frac{OA+OB}{OA}=\frac{OA+\sqrt2\,OA}{OA}=1+\sqrt2$이다. 그러므로 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=(1+\sqrt2)x$이다.

(2) $\displaystyle S$에 속하는 임의의 점을 $\displaystyle (x,y)$라 하고, 이 점의 $\displaystyle \ell$에 대한 대칭점을 $\displaystyle (s,t)$라 하자. 그러면, $\displaystyle y=f(x)=x+\frac1x$이고, 앞 문제의 풀이에 의해$\displaystyle \begin{aligned}s&=\frac1{1+m^2}((1-m^2)x+2my-2mk)\\&=\frac1{4+2\sqrt2}\left((-2-2\sqrt2)x+2(1+\sqrt2)\left(x+\frac1x\right)\right)=\frac1{\sqrt2x},\\t&=\frac1{1+m^2}(2mx+(m^2-1)y+2k)\\&=\frac1{4+2\sqrt2}\left(2(1+\sqrt2)x+(2+2\sqrt2)\left(x+\frac1x\right)\right)=\sqrt2x+\frac1{\sqrt2x}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle t=f(s)$가 성립하므로 $\displaystyle (s,t)$는 $\displaystyle S$에 속한다. 그러므로 $\displaystyle S$는 $\displaystyle \ell$에 대해 대칭이다.