의학계 2번

[해답 3-1] (1) $\displaystyle \sigma=(1\;2\;3\;4\;5\;6)=(1\;6)(1\;5)(1\;4)(1\;3)(1\;2)$Correction. 해설 파일은 이 문항을 3번으로 표기하지만, 의학부 문제 파일에서는 2번이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(2) $\displaystyle \sigma^{-1}=(1\;2)(1\;3)(1\;4)(1\;5)(1\;6)$

[해답 3-2] 다음과 같이 정의된 치환$\displaystyle \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\1&3&5&6&2&7&4\end{pmatrix}$을 사이클들의 곱으로 표현하면$\displaystyle \sigma=(2\;3\;5)(4\;6\;7)=(2\;5)(2\;3)(4\;7)(4\;6)$을 얻는다. 그런데 정리 2를 이용하여$\displaystyle (2\;5)=(2\;3)(3\;5)(2\;3)=(2\;3)(3\;4)(4\;5)(3\;4)(2\;3)$$\displaystyle (4\;7)=(4\;5)(5\;7)(4\;5)=(4\;5)(5\;6)(6\;7)(5\;6)(4\;5)$$\displaystyle (4\;6)=(5\;6)(4\;5)$Correction. $\displaystyle (4\;6)$은 하나의 호환이므로 두 호환의 곱 $\displaystyle (5\;6)(4\;5)$와 같지 않다. 올바른 분해는 $\displaystyle (4\;6)=(4\;5)(5\;6)(4\;5)$이며, 아래 최종 곱에도 이 누락된 호환이 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 얻는다. 이것을 대입하면$\displaystyle \sigma=(2\;3)(3\;4)(4\;5)(3\;4)(2\;3)(2\;3)(4\;5)(5\;6)(6\;7)(5\;6)(4\;5)(5\;6)(4\;5)$임을 알 수 있다.

[해답 3-3] 항등치환이 $\displaystyle m$개의 호환 $\displaystyle t_1,t_2,\ldots,t_m$들의 곱으로 표시된다고 하자. 즉,$\displaystyle \epsilon=t_1t_2\cdots t_m$.호환 $\displaystyle t_1,\ldots,t_m$에 나타나는 임의의 수 $\displaystyle x$를 선택한다. $\displaystyle x$가 나타나는 마지막 호환을 $\displaystyle t_k=(xa)$라 하자. 즉, $\displaystyle t_{k+1},\ldots,t_m$에는 $\displaystyle x$가 나타나지 않는다. 만약 $\displaystyle t_{k-1}=(xa)$이라면, $\displaystyle t_{k-1}$과 $\displaystyle t_k$는 서로 상쇄되어 $\displaystyle \epsilon$은 $\displaystyle (m-2)$개의 호환의 곱으로 표시된다. 이제 $\displaystyle t_{k-1}\ne(xa)$이라 가정하면 다음 3가지 경우를 생각할 수 있다.첫 번째 $\displaystyle t_{k-1}=(xb)$이고 $\displaystyle b\ne x,a$인 경우: $\displaystyle t_{k-1}t_k=(xb)(xa)=(xa)(ab)$이므로 $\displaystyle x$가 $\displaystyle (k-1)$번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있다.두 번째 $\displaystyle t_{k-1}=(ca)$이고 $\displaystyle c\ne x,a$인 경우: $\displaystyle t_{k-1}t_k=(ca)(xa)=(xc)(ca)$이므로 $\displaystyle x$가 $\displaystyle (k-1)$번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있다.세 번째 $\displaystyle t_{k-1}=(bc)$이고 $\displaystyle b\ne x,a$, $\displaystyle c\ne x,a$인 경우: $\displaystyle t_{k-1}t_k=(bc)(xa)=(xa)(bc)$이므로 $\displaystyle x$가 $\displaystyle (k-1)$번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있다.따라서 위의 과정을 반복하면 $\displaystyle x$가 첫 번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있는데, 이것은 $\displaystyle \epsilon$에 의해 $\displaystyle x$가 다른 수로 대응되므로 모순이다. 이것으로 문제의 첫 번째 주장이 증명되었다.만일 $\displaystyle \epsilon$이 홀수개의 호환들의 곱으로 표시되었다면, 앞에서 증명한 사실에 따라 $\displaystyle \epsilon$은 하나의 호환이 되므로 모순이다.

[해답 3-4] 치환 $\displaystyle \sigma$가 홀수개의 호환의 곱으로 그리고 짝수개의 호환의 곱으로 표시될 수 있다고 가정한다. 이제 $\displaystyle \sigma=t_1t_2\cdots t_{2m}=s_1s_2\cdots s_{2n+1}$ (모든 $\displaystyle t_i$, $\displaystyle s_j$는 호환)으로 쓰자. 그러면$\displaystyle \epsilon=\sigma\sigma^{-1}=s_1s_2\cdots s_{2n+1}t_{2m}t_{2m-1}\cdots t_1$이 성립하여 $\displaystyle \epsilon$이 홀수개의 호환의 곱으로 표현되어 [문제 3-3]의 사실에 위배된다.