아주대 2011학년도 모의 자연계열 2번 해설

1827년 영국의 식물학자 로버트 브라운은 액체 속의 꽃가루를 현미경으로 관찰하던 중 꽃가루 알갱이가 액체 속에서 끊임없이 불규칙한 운동을 하며 떠다니는 것을 발견하였다. 브라운은 꽃가루의 운동이 꽃가루 내부의 생명에너지에 의해 일어난다고 생각했으나, 물리학자들은 내부 유체의 불규칙한 유동현상(유체분자의 충돌에 의해 일어남)이 꽃가루를 통하여 보여 지는 것이라고 결론지었다. 그리고 이 현상을 발견한 과학자의 이름을 따서 브라운 운동이라 하였다. 또 물리학자들은 온도가 높거나 입자의 알갱이가 작을수록 브라운 운동이 활발해짐을 발견했다. 특히, 아인슈타인은 입자들의 평균 이동거리를 확률적 방법을 응용하여 계산하였다. 브라운 운동은 분자 수준의 모든 자연 현상에서 일어나며, 가장 간단한 예로 투명 용액 속에 붉은 잉크를 한 방울 떨어뜨릴 때 잉크가 확산되어 전체 용액이 오랜 시간 후 옅은 색의 용액으로 바뀌는 현상을 들 수 있다. 현대에는 브라운 운동이 물리적 현상뿐만 아니라, 정보망을 통한 정보의 확산과정, 주식의 가격 변동 등 경제 현상을 설명하는 중요한 수학적 도구로 활용되고 있다. 우리는 간단한 격자 상의 불규칙한 유동현상(이를 랜덤 워크 random walk라 부른다) 실험을 통하여, 이 현상을 이해하고자 한다.

다음의 그림과 같이 4개의 연결된 점 A, B, C, D에 총질량 1그램의 물질이 분포하고 있다.

매초마다 물질은 일정한 규칙에 따라 확산한다. 즉, 만일 $\displaystyle (m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)$ 를 $\displaystyle k$ 초 후의 각 점에서의 물질의 질량이라 하면 $\displaystyle (k+1)$ 초 후의 각 점에서의 질량은 점화식 $\displaystyle m_A^{k+1}=\frac{m_B^k+m_C^k+m_D^k}3,\;m_B^{k+1}=\frac{m_A^k+2m_B^k}3,$ $\displaystyle m_C^{k+1}=\frac{m_A^k+2m_C^k}3,\;m_D^{k+1}=\frac{m_A^k+2m_D^k}3$ 을 만족한다. 예를 들어, 초기에 물질의 분포가 $\displaystyle (m_A^0,m_B^0,m_C^0,m_D^0)=(1/2,1/2,0,0)$ 이라면, 1초 후에는 $\displaystyle (1/6,1/2,1/6,1/6)$ 이고 2초 후에는 $\displaystyle (5/18,7/18,1/6,1/6)$ 이 된다.

[문제 2-1] (10점) 시간이 갈수록( $\displaystyle k\to\infty$ ) 각 점에서의 질량 분포 $\displaystyle (m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)$ 이 수렴한다고 가정할 때, 그 수렴 값 $\displaystyle (m_A,m_B,m_C,m_D)$ 을 구하는 과정을 기술하고 그 값을 구하라.

[문제 2-2] (10점) 유한 시간 $\displaystyle k$ 초에 수렴 값에 도달할 수 있는지 판단하고 그 이유를 기술하라.

[문제 2-3] 초기에 물질의 분포가 $\displaystyle (m_A^0,m_B^0,m_C^0,m_D^0)=(1/2,1/2,0,0)$ 이라 하자.(1) (20점) 시간 $\displaystyle k$ 에서 두 점 사이의 질량 차이를 다음과 같이 정의한다: $\displaystyle \beta_k=m_B^k-m_A^k,\;\gamma_k=m_C^k-m_A^k,\;\delta_k=m_D^k-m_A^k$ . $\displaystyle k\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \beta_k,\gamma_k,\delta_k$ 는 모두 0으로 수렴함을 보여라.(2) (10점) 각 점에서의 질량 분포 $\displaystyle (m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)$ 는 $\displaystyle k\to\infty$ 일 때 수렴함을 보여라.

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[해답 2-1] 각각의 점화식에서 $\displaystyle k\to\infty$ 를 취하면, 다음과 같은 연립 방정식을 얻는다. $\displaystyle m_A=\frac{m_B+m_C+m_D}3,\;m_B=\frac{m_A+2m_B}3,\;m_C=\frac{m_A+2m_C}3,\;m_D=\frac{m_A+2m_D}3$ 여기에 모든 질량의 합 $\displaystyle m_A+m_B+m_C+m_D=1$ 인 조건을 덧붙여 풀면, $\displaystyle (m_A,m_B,m_C,m_D)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$ 임을 알 수 있다.

[해답 2-2] 유한 시간 $\displaystyle k$ 초에 수렴 값에 도달한다면, $\displaystyle (m_A^{k+1},m_B^{k+1},m_C^{k+1},m_D^{k+1})=(m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)$ 을 만족해야 한다. 문제의 점화식에 대입하여 $\displaystyle m_A^k=\frac{m_B^k+m_C^k+m_D^k}3,\;m_B^k=\frac{m_A^k+2m_B^k}3,\;m_C^k=\frac{m_A^k+2m_C^k}3,\;m_D^k=\frac{m_A^k+2m_D^k}3$ 을 얻고 $\displaystyle m_A^k+m_B^k+m_C^k+m_D^k=1$ 인 조건과 연립하여 풀면, 해 $\displaystyle (m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$ 를 구한다. 주어진 점화식에서 $\displaystyle k$ 를 $\displaystyle (k-1)$ 로 치환하면 $\displaystyle \frac14=\frac{m_B^{k-1}+m_C^{k-1}+m_D^{k-1}}3,\;\frac14=\frac{m_A^{k-1}+2m_B^{k-1}}3,\;\frac14=\frac{m_A^{k-1}+2m_C^{k-1}}3,\;\frac14=\frac{m_A^{k-1}+2m_D^{k-1}}3$ 을 얻고, 그 해는 $\displaystyle (m_A^{k-1},m_B^{k-1},m_C^{k-1},m_D^{k-1})=(1/4,1/4,1/4,1/4)$ 이다. 이 과정을 반복하면, $\displaystyle (m_A^0,m_B^0,m_C^0,m_D^0)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$ 을 얻는다. 결론적으로 초기 분포가 $\displaystyle (1/4,1/4,1/4,1/4)$ 일 때 유한 시간에 수렴하고, 그 밖의 경우에는 유한 시간에 수렴하지 않는다.

[해답 2-3] (1) 문제에 주어진 점화식을 이용하면 $\displaystyle \beta_{k+1}=\frac{\beta_k-\gamma_k-\delta_k}3,\;\gamma_{k+1}=\frac{-\beta_k+\gamma_k-\delta_k}3,\;\delta_{k+1}=\frac{-\beta_k-\gamma_k+\delta_k}3$ 를 얻는다. 마지막 두 식을 더하면, $\displaystyle \gamma_{k+1}+\delta_{k+1}=-(2/3)\beta_k$ 를 얻고 첫 번째 식에 대입하여 $\displaystyle \beta_{k+1}=\frac13\beta_k+\frac29\beta_{k-1}$ 을 얻게 된다. 이것은 $\displaystyle \beta_{k+1}+\frac13\beta_k=\frac23\left(\beta_k+\frac13\beta_{k-1}\right)$ 과 같고, $\displaystyle \beta_{k+1}+\frac13\beta_k$ 이 등비수열임을 뜻하므로 $\displaystyle \beta_{k+1}+\frac13\beta_k=\left(\beta_1+\frac13\beta_0\right)\left(\frac23\right)^k=\left(\frac13+0\right)\left(\frac23\right)^k=\frac13\left(\frac23\right)^k$ 이다.

수학적 귀납법을 사용하여 모든 $\displaystyle k\ge1$ 에 대하여 $\displaystyle |\beta_k|\le\left(\frac23\right)^k$ 을 보이자. $\displaystyle k=1$ 일 때 성립함은 당연하다. $\displaystyle k$ 일 때 성립한다고 가정하면, $\displaystyle |\beta_{k+1}|=\left|-\frac13\beta_k+\frac13\left(\frac23\right)^k\right|\le\frac13\left(|\beta_k|+\left(\frac23\right)^k\right)\le\frac13\left(\left(\frac23\right)^k+\left(\frac23\right)^k\right)=\left(\frac23\right)^{k+1}$ 이므로 $\displaystyle k+1$ 일 때 성립함을 확인할 수 있다. 그러므로 $\displaystyle k\to\infty$ 일 때, $\displaystyle \beta_k$ 는 0으로 수렴한다. 모든 식은 $\displaystyle \beta_k$ , $\displaystyle \gamma_k$ , $\displaystyle \delta_k$ 에 대하여 대칭이므로, 똑같은 논의에 의하여 $\displaystyle \gamma_k$ , $\displaystyle \delta_k$ 도 역시 0으로 수렴한다.

(2) 항상 $\displaystyle m_A+m_B+m_C+m_D=1$ 이므로, 등식 $\displaystyle 1-\beta_k-\gamma_k-\delta_k=4m_A^k$ 을 얻는다. $\displaystyle \beta_k$ , $\displaystyle \gamma_k$ , $\displaystyle \delta_k$ 는 모두 0으로 수렴하므로 $\displaystyle 4m_A^k$ 는 1로 수렴한다. 즉, $\displaystyle m_A^k$ 는 1/4로 수렴한다. 이제 $\displaystyle m_B^k=m_A^k+\beta_k$ , $\displaystyle m_C^k=m_A^k+\gamma_k$ , $\displaystyle m_D^k=m_A^k+\delta_k$ 이므로 $\displaystyle m_B^k$ , $\displaystyle m_C^k$ , $\displaystyle m_D^k$ 는 모두 수렴한다.

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