자연계열 2번

[해답 2-1] 각각의 점화식에서 $\displaystyle k\to\infty$를 취하면, 다음과 같은 연립 방정식을 얻는다.$\displaystyle m_A=\frac{m_B+m_C+m_D}3,\;m_B=\frac{m_A+2m_B}3,\;m_C=\frac{m_A+2m_C}3,\;m_D=\frac{m_A+2m_D}3$여기에 모든 질량의 합 $\displaystyle m_A+m_B+m_C+m_D=1$인 조건을 덧붙여 풀면,$\displaystyle (m_A,m_B,m_C,m_D)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$임을 알 수 있다.

[해답 2-2] 유한 시간 $\displaystyle k$초에 수렴 값에 도달한다면,$\displaystyle (m_A^{k+1},m_B^{k+1},m_C^{k+1},m_D^{k+1})=(m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)$을 만족해야 한다. 문제의 점화식에 대입하여$\displaystyle m_A^k=\frac{m_B^k+m_C^k+m_D^k}3,\;m_B^k=\frac{m_A^k+2m_B^k}3,\;m_C^k=\frac{m_A^k+2m_C^k}3,\;m_D^k=\frac{m_A^k+2m_D^k}3$을 얻고 $\displaystyle m_A^k+m_B^k+m_C^k+m_D^k=1$인 조건과 연립하여 풀면, 해$\displaystyle (m_A^k,m_B^k,m_C^k,m_D^k)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$를 구한다. 주어진 점화식에서 $\displaystyle k$를 $\displaystyle (k-1)$로 치환하면$\displaystyle \frac14=\frac{m_B^{k-1}+m_C^{k-1}+m_D^{k-1}}3,\;\frac14=\frac{m_A^{k-1}+2m_B^{k-1}}3,\;\frac14=\frac{m_A^{k-1}+2m_C^{k-1}}3,\;\frac14=\frac{m_A^{k-1}+2m_D^{k-1}}3$을 얻고, 그 해는 $\displaystyle (m_A^{k-1},m_B^{k-1},m_C^{k-1},m_D^{k-1})=(1/4,1/4,1/4,1/4)$이다. 이 과정을 반복하면, $\displaystyle (m_A^0,m_B^0,m_C^0,m_D^0)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$을 얻는다. 결론적으로 초기 분포가 $\displaystyle (1/4,1/4,1/4,1/4)$일 때 유한 시간에 수렴하고, 그 밖의 경우에는 유한 시간에 수렴하지 않는다.

[해답 2-3] (1) 문제에 주어진 점화식을 이용하면$\displaystyle \beta_{k+1}=\frac{\beta_k-\gamma_k-\delta_k}3,\;\gamma_{k+1}=\frac{-\beta_k+\gamma_k-\delta_k}3,\;\delta_{k+1}=\frac{-\beta_k-\gamma_k+\delta_k}3$를 얻는다. 마지막 두 식을 더하면, $\displaystyle \gamma_{k+1}+\delta_{k+1}=-(2/3)\beta_k$를 얻고 첫 번째 식에 대입하여 $\displaystyle \beta_{k+1}=\frac13\beta_k+\frac29\beta_{k-1}$을 얻게 된다. 이것은 $\displaystyle \beta_{k+1}+\frac13\beta_k=\frac23\left(\beta_k+\frac13\beta_{k-1}\right)$과 같고, $\displaystyle \beta_{k+1}+\frac13\beta_k$이 등비수열임을 뜻하므로$\displaystyle \beta_{k+1}+\frac13\beta_k=\left(\beta_1+\frac13\beta_0\right)\left(\frac23\right)^k=\left(\frac13+0\right)\left(\frac23\right)^k=\frac13\left(\frac23\right)^k$이다.

수학적 귀납법을 사용하여 모든 $\displaystyle k\ge1$에 대하여 $\displaystyle |\beta_k|\le\left(\frac23\right)^k$을 보이자. $\displaystyle k=1$일 때 성립함은 당연하다. $\displaystyle k$일 때 성립한다고 가정하면,$\displaystyle |\beta_{k+1}|=\left|-\frac13\beta_k+\frac13\left(\frac23\right)^k\right|\le\frac13\left(|\beta_k|+\left(\frac23\right)^k\right)\le\frac13\left(\left(\frac23\right)^k+\left(\frac23\right)^k\right)=\left(\frac23\right)^{k+1}$이므로 $\displaystyle k+1$일 때 성립함을 확인할 수 있다. 그러므로 $\displaystyle k\to\infty$일 때, $\displaystyle \beta_k$는 0으로 수렴한다. 모든 식은 $\displaystyle \beta_k$, $\displaystyle \gamma_k$, $\displaystyle \delta_k$에 대하여 대칭이므로, 똑같은 논의에 의하여 $\displaystyle \gamma_k$, $\displaystyle \delta_k$도 역시 0으로 수렴한다.

(2) 항상 $\displaystyle m_A+m_B+m_C+m_D=1$이므로, 등식 $\displaystyle 1-\beta_k-\gamma_k-\delta_k=4m_A^k$을 얻는다. $\displaystyle \beta_k$, $\displaystyle \gamma_k$, $\displaystyle \delta_k$는 모두 0으로 수렴하므로 $\displaystyle 4m_A^k$는 1로 수렴한다. 즉, $\displaystyle m_A^k$는 1/4로 수렴한다. 이제 $\displaystyle m_B^k=m_A^k+\beta_k$, $\displaystyle m_C^k=m_A^k+\gamma_k$, $\displaystyle m_D^k=m_A^k+\delta_k$이므로 $\displaystyle m_B^k$, $\displaystyle m_C^k$, $\displaystyle m_D^k$는 모두 수렴한다.