수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1번

아주대 2018학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2018mo/jayeon_1

배점50점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

완전제곱을 이용하여 최솟값을 찾는 다음의 두 가지를 생각해보자.

(가) 공간상의 두 점 A(1,0,0), B(0,1,0)\displaystyle A(1,0,0),\ B(0,1,0)과 임의의 실수 k,l\displaystyle k,l으로 다음과 같이 점 P(u,v,w)\displaystyle P(u,v,w)들을 생각한다.(u,v,w)=k(1,0,0)+l(0,1,0).(1)\displaystyle (u,v,w)=k(1,0,0)+l(0,1,0).\qquad(1)이때 임의의 점 Q(x,y,z)\displaystyle Q(x,y,z)와 점 P(u,v,w)\displaystyle P(u,v,w)사이의 거리는 (x−k)2+(y−l)2+(z−w)2\displaystyle \sqrt{(x-k)^2+(y-l)^2+(z-w)^2}이며 (x−k)2+(y−l)2+(z−w)2\displaystyle (x-k)^2+(y-l)^2+(z-w)^2이 최소가 되도록 k, l\displaystyle k,\ l을 선택할 때 그 거리는 가장 작은 값을 가지게 된다.

(나) 닫힌구간 [−2,2]\displaystyle [-2,2]에 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 네 개의 작은 구간 [−2,−1], [−1,0], [0,1], [1,2]\displaystyle [-2,-1],\ [-1,0],\ [0,1],\ [1,2] 위에서 적분한 값들을 각각 p,q,r,s\displaystyle p,q,r,s라고 하자. 이 때 다음의 A\displaystyle A를 최소로 만드는 실수 a,b\displaystyle a,b를 구할 수 있다.A=(p−(−a−b))2+(q−(a−b))2+(r−(a+b))2+(s−(−a+b))2.\displaystyle A=(p-(-a-b))^2+(q-(a-b))^2+(r-(a+b))^2+(s-(-a+b))^2.

[문제 1-1] 제시문 (가)를 참고하여 다음 논제에 답하시오.(1) (10점) 공간상의 두 점 A(1,−2,3), B(1,−1,−1)\displaystyle A(1,-2,3),\ B(1,-1,-1)을 생각하자. 점 Q(2,1,2)\displaystyle Q(2,1,2)와 벡터 (u,v,w)=k(1,−2,3)+l(1,−1,−1)\displaystyle (u,v,w)=k(1,-2,3)+l(1,-1,-1)을 이용하여 만든 점 P(u,v,w)\displaystyle P(u,v,w)사이의 거리가 최소가 되도록 실수 k,l\displaystyle k,l을 찾고 그 논거를 제시하시오.(2) (10점) 공간상의 두 점 A(1,−2,3), B(1,−1,−1)\displaystyle A(1,-2,3),\ B(1,-1,-1)을 생각하자. 임의의 점 Q(x,y,z)\displaystyle Q(x,y,z)가 주어진 경우, 이 점과 벡터 (u,v,w)=k(1,−2,3)+l(1,−1,−1)\displaystyle (u,v,w)=k(1,-2,3)+l(1,-1,-1)을 이용하여 만든 점 P(u,v,w)\displaystyle P(u,v,w)사이의 거리가 최소가 되도록 실수 k,l\displaystyle k,l을 찾고 그 논거를 제시하시오.

[문제 1-2] 제시문 (나)를 참고하여 다음 논제에 답하시오.(1) (10점) 닫힌 구간 [−2,2]\displaystyle [-2,2]에 정의된 임의의 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 A\displaystyle A값이 최소가 되는 실수 a,b\displaystyle a,b를 p,q,r,s\displaystyle p,q,r,s를 이용하여 표현하고 그 논거를 제시하시오.(2) (10점) (1)에서 구한 a,b\displaystyle a,b가 각각 14∫−22f(x)g(x) dx\displaystyle \frac14\int_{-2}^2f(x)g(x)\,dx, 14∫−22f(x)h(x) dx\displaystyle \frac14\int_{-2}^2f(x)h(x)\,dx로 표현되도록 함수 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)를 찾고, ∫−22(g(x))2 dx, ∫−22(h(x))2 dx, ∫−22g(x)h(x) dx\displaystyle \int_{-2}^2(g(x))^2\,dx,\ \int_{-2}^2(h(x))^2\,dx,\ \int_{-2}^2g(x)h(x)\,dx의 적분값들을 구하시오.(3) (10점) 0≤p≤1\displaystyle 0\le p\le1을 만족하는 p\displaystyle p에 대하여 함수 f(x)=cos⁡(π2(x−p))\displaystyle f(x)=\cos(\frac\pi2(x-p))를 생각하자. 이 함수의 A\displaystyle A값이 최소가 되는 a,b\displaystyle a,b를 p(0≤p≤1)\displaystyle p(0\le p\le1)에 관한 함수로 표현하시오.

해설강의 준비중

아주대 2018학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2018mo/jayeon_1

[문제 1-1]

+5점 · (1) 거리 제곱식의 전개

(1) 점 Q\displaystyle Q와 점 P\displaystyle P사이 거리의 제곱은 (2−k−l)2+(1+2k+l)2+(2−3k+l)2\displaystyle (2-k-l)^2+(1+2k+l)^2+(2-3k+l)^2이다.이를 전개하면 14k2−12k+3l2+2l+9\displaystyle 14k^2-12k+3l^2+2l+9 이며 완전 제곱식으로 표현하면

+5점 · 완전제곱식을 만든 후에 k,l\displaystyle k,l찾기

14(k−37)2+3(l+13)2−14×949−3×19+9\displaystyle 14(k-\frac37)^2+3(l+\frac13)^2-14\times\frac9{49}-3\times\frac19+9이 된다. 그러므로 k=37, l=−13\displaystyle k=\frac37,\ l=-\frac13이 거리제곱을, 따라서 거리를 최소가 되게 한다.

+5점 · (2) 거리 제곱식의 전개

(2) 점 Q\displaystyle Q와 점 P\displaystyle P사이 거리의 제곱은 (x−k−l)2+(y+2k+l)2+(z−3k+l)2\displaystyle (x-k-l)^2+(y+2k+l)^2+(z-3k+l)^2이다.이를 전개하면 14k2+(−2x+4y−6z)k+3l2+(−2x+2y+2z)l+x2+y2+z2\displaystyle 14k^2+(-2x+4y-6z)k+3l^2+(-2x+2y+2z)l+x^2+y^2+z^2이며 완전 제곱식으로 표현하면

+5점 · 완전제곱식을 만든 후에 k,l\displaystyle k,l찾기

14(k+−x+2y−3z14)2+3(l+−x+y+z3)2−14×(−x+2y−3z14)2−3(−x+y+z3)2+x2+y2+z2\displaystyle \begin{aligned}&14\left(k+\frac{-x+2y-3z}{14}\right)^2+3\left(l+\frac{-x+y+z}{3}\right)^2-14\times\left(\frac{-x+2y-3z}{14}\right)^2-3\left(\frac{-x+y+z}{3}\right)^2\\&\quad+x^2+y^2+z^2\end{aligned}이 된다. 그러므로 k=x−2y+3z14, l=x−y−z3\displaystyle k=\frac{x-2y+3z}{14},\ l=\frac{x-y-z}{3}가 거리제곱을, 따라서 거리를 최소가 되게 한다.

[문제 1-2]

+5점 · (1) A\displaystyle A식의 전개 후 a,b\displaystyle a,b에 관한 내림차순으로 정리

(1) 제시문 (나)의 A\displaystyle A식을 전개하면4a2+4b2−2(−p+q+r−s)a−2(−p−q+r+s)b+p2+q2+r2+s2\displaystyle 4a^2+4b^2-2(-p+q+r-s)a-2(-p-q+r+s)b+p^2+q^2+r^2+s^2이 되며 이를 완전제곱식으로 표현하면

+5점 · 전개된 식을 완전제곱식으로 만든 후에 a,b\displaystyle a,b 찾기

4(a−−p+q+r−s4)2+4(b−−p−q+r+s4)2−4×(−p+q+r−s4)2−4×(−p−q+r+s4)2+p2+q2+r2+s2\displaystyle \begin{aligned}&4\left(a-\frac{-p+q+r-s}{4}\right)^2+4\left(b-\frac{-p-q+r+s}{4}\right)^2-4\times\left(\frac{-p+q+r-s}{4}\right)^2-4\times\left(\frac{-p-q+r+s}{4}\right)^2\\&\quad+p^2+q^2+r^2+s^2\end{aligned}이 된다. 그러므로 a=−p+q+r−s4, b=−p−q+r+s4\displaystyle a=\frac{-p+q+r-s}{4},\ b=\frac{-p-q+r+s}{4}가 A\displaystyle A를 최소로 만들어 준다.

+3점 · (2) a,b\displaystyle a,b를 풀이처럼 14∫−22f(x)g(x) dx, 14∫−22f(x)h(x) dx\displaystyle \frac14\int_{-2}^2f(x)g(x)\,dx,\ \frac14\int_{-2}^2f(x)h(x)\,dx 형태로 나타내는데

(2) 제시문 (나)에 주어진 것처럼 p,q,r,s\displaystyle p,q,r,s는 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 네 개의 작은 구간 [−2,−1], [−1,0], [0,1], [1,2]\displaystyle [-2,-1],\ [-1,0],\ [0,1],\ [1,2] 위에서 적분한 값들이기 때문에 (1)에서 구한 a,b\displaystyle a,b는 다음과 같이 표현된다.a=−p+q+r−s4=−14∫−2−1f(x) dx+14∫−10f(x) dx+14∫01f(x) dx−14∫12f(x) dx,b=−p−q+r+s4=−14∫−2−1f(x) dx−14∫−10f(x) dx+14∫01f(x) dx+14∫12f(x) dx.\displaystyle \begin{aligned}a&=\frac{-p+q+r-s}{4}\\&=-\frac14\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx+\frac14\int_{-1}^0f(x)\,dx+\frac14\int_0^1f(x)\,dx-\frac14\int_1^2f(x)\,dx,\\b&=\frac{-p-q+r+s}{4}\\&=-\frac14\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx-\frac14\int_{-1}^0f(x)\,dx+\frac14\int_0^1f(x)\,dx+\frac14\int_1^2f(x)\,dx.\end{aligned}

+2점 · g(x)\displaystyle g(x)를 명확히 구하는데 +2점 · h(x)\displaystyle h(x)를 명확히 구하는데

그러므로 함수 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)를g(x)={−1,−2≤x<−11,−1≤x<01,0≤x<1−1,1≤x≤2,h(x)={−1,−2≤x<−1−1,−1≤x<01,0≤x<11,1≤x≤2\displaystyle g(x)=\begin{cases}-1,&-2\le x<-1\\1,&-1\le x<0\\1,&0\le x<1\\-1,&1\le x\le2\end{cases},\qquad h(x)=\begin{cases}-1,&-2\le x<-1\\-1,&-1\le x<0\\1,&0\le x<1\\1,&1\le x\le2\end{cases}과 같이 정의하면 a=14∫−22f(x)g(x) dx, b=14∫−22f(x)h(x) dx\displaystyle a=\frac14\int_{-2}^2f(x)g(x)\,dx,\ b=\frac14\int_{-2}^2f(x)h(x)\,dx로 표현할 수 있다.

+1점 · ∫−22(g(x))2 dx\displaystyle \int_{-2}^2(g(x))^2\,dx 구하기 +1점 · ∫−22(h(x))2 dx\displaystyle \int_{-2}^2(h(x))^2\,dx 구하기 +1점 · ∫−22g(x)h(x) dx\displaystyle \int_{-2}^2g(x)h(x)\,dx 구하기

이 때 적분 ∫−22(g(x))2 dx, ∫−22(h(x))2 dx, ∫−22g(x)h(x) dx\displaystyle \int_{-2}^2(g(x))^2\,dx,\ \int_{-2}^2(h(x))^2\,dx,\ \int_{-2}^2g(x)h(x)\,dx들의 값들은 각각 4, 4, 0\displaystyle 4,\ 4,\ 0이다.

+2점 · (3) cos⁡(π2(x−p))\displaystyle \cos(\frac\pi2(x-p))을 코사인 덧셈공식을 사용하여 분리하여 계산할 수 있음을 보이면

(3) cos⁡(π2(x−p))\displaystyle \cos(\frac\pi2(x-p))는cos⁡(π2(x−p))=cos⁡(π2x)cos⁡(π2p)+sin⁡(π2x)sin⁡(π2p)(∗)\displaystyle \cos\left(\frac\pi2(x-p)\right)=\cos\left(\frac\pi2x\right)\cos\left(\frac\pi2p\right)+\sin\left(\frac\pi2x\right)\sin\left(\frac\pi2p\right)\qquad(*)과 같이 표현이 되기 때문에, 우선 함수들 cos⁡(π2x), sin⁡(π2x)\displaystyle \cos(\frac\pi2x),\ \sin(\frac\pi2x)에 대하여 A\displaystyle A값이 최소가 되는 a,b\displaystyle a,b를 구하자.

+2점 · f(x)=cos⁡(π2x)\displaystyle f(x)=\cos(\frac\pi2x)에 대해 a\displaystyle a 계산

f(x)=cos⁡(π2x)\displaystyle f(x)=\cos(\frac\pi2x) 인 경우 (2)에서 구한 함수 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)와 cos⁡(π2x)g(x)\displaystyle \cos(\frac\pi2x)g(x)가 우함수이고, cos⁡(π2x)h(x)\displaystyle \cos(\frac\pi2x)h(x)가 기함수라는 사실을 이용하면a=14∫−22cos⁡(π2x)g(x) dx=14⋅2⋅∫02cos⁡(π2x)g(x) dx=12[∫01cos⁡(π2x) dx−∫12cos⁡(π2x) dx]=122π[sin⁡(π2)−sin⁡0−(sin⁡(π22)−sin⁡(π2))]=2π\displaystyle \begin{aligned}a&=\frac14\int_{-2}^2\cos\left(\frac\pi2x\right)g(x)\,dx\\&=\frac14\cdot2\cdot\int_0^2\cos\left(\frac\pi2x\right)g(x)\,dx\\&=\frac12\left[\int_0^1\cos\left(\frac\pi2x\right)\,dx-\int_1^2\cos\left(\frac\pi2x\right)\,dx\right]\\&=\frac12\frac2\pi\left[\sin\left(\frac\pi2\right)-\sin0-\left(\sin\left(\frac\pi2 2\right)-\sin\left(\frac\pi2\right)\right)\right]=\frac2\pi\end{aligned}

+2점 · f(x)=cos⁡(π2x)\displaystyle f(x)=\cos(\frac\pi2x)에 대해 b\displaystyle b 계산

과b=14∫−22cos⁡(π2x)h(x) dx=0\displaystyle b=\frac14\int_{-2}^2\cos\left(\frac\pi2x\right)h(x)\,dx=0를 얻는다.

+2점 · f(x)=sin⁡(π2x)\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi2x)에 대해 a\displaystyle a 계산

또한 f(x)=sin⁡(π2x)\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi2x) 인 경우, sin⁡(π2x)g(x)\displaystyle \sin(\frac\pi2x)g(x)가 기함수이고, sin⁡(π2x)h(x)\displaystyle \sin(\frac\pi2x)h(x)가 우함수라는 사실 때문에a=14∫−22sin⁡(π2x)g(x) dx=0\displaystyle a=\frac14\int_{-2}^2\sin\left(\frac\pi2x\right)g(x)\,dx=0

+2점 · f(x)=sin⁡(π2x)\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi2x)에 대해 b\displaystyle b 계산

과b=14∫−22sin⁡(π2x)h(x) dx=14⋅2⋅∫02sin⁡(π2x)h(x) dx=12[∫01sin⁡(π2x) dx+∫12sin⁡(π2x) dx]=12(−2π)[cos⁡(π2)−cos⁡0+cos⁡(π22)−cos⁡(π2)]=2π\displaystyle \begin{aligned}b&=\frac14\int_{-2}^2\sin\left(\frac\pi2x\right)h(x)\,dx\\&=\frac14\cdot2\cdot\int_0^2\sin\left(\frac\pi2x\right)h(x)\,dx\\&=\frac12\left[\int_0^1\sin\left(\frac\pi2x\right)\,dx+\int_1^2\sin\left(\frac\pi2x\right)\,dx\right]\\&=\frac12\left(-\frac2\pi\right)\left[\cos\left(\frac\pi2\right)-\cos0+\cos\left(\frac\pi2 2\right)-\cos\left(\frac\pi2\right)\right]=\frac2\pi\end{aligned}를 얻는다.

그러므로 f(x)=sin⁡(π2(x−p))\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi2(x-p))의 경우, 식 (*)과 적분의 성질을 이용하여 우리는Correction. 마지막 문장의 f(x)=sin⁡(π2(x−p))\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi2(x-p))는 문제에서 주어진 f(x)=cos⁡(π2(x−p))\displaystyle f(x)=\cos(\frac\pi2(x-p))의 오기이다. 바로 위 코사인 덧셈공식과 최종 a,b\displaystyle a,b의 값은 문제의 코사인 함수에 대한 계산이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.a=2πcos⁡(π2p),b=2πsin⁡(π2p)\displaystyle a=\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2p\right),\qquad b=\frac2\pi\sin\left(\frac\pi2p\right)를 얻게 된다.

[문제 1-1] (1), (2) 모두 전개 후 완전제곱식을 만들 때 처음 두 항을 제외하고 쓰지 않아도 감점 없음 - 공간벡터(점과 평면상의 거리)를 사용하여 푼 경우에도 k,l\displaystyle k,l을 제대로 찾으면 만점

[문제 1-1] 완전제곱식을 만드는 계산 실수에도 아이디어가 맞으면 8점

[문제 1-2] (2) a,b\displaystyle a,b를 f(x)\displaystyle f(x)의 구간 별 적분을 이용하여 표현한 후에 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)를 찾기 (7점). 질문의 세 적분값들 구하기 (3점: 각 1점씩)

[문제 1-2] (3) (2)번에서 구한 함수 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)를 이용하여 a,b\displaystyle a,b값을 적분 계산으로 구한다. 이 때 코사인 함수의 합의 공식, 그리고 우함수/기함수 성질을 이용하면 계산을 많이 간단히 할 수 있다. 이렇게 합쳐서 계산할 경우 위 기준에 따라 배점한다. 어떻게 계산하더라도 a, b\displaystyle a,\ b 각각의 값을 정확하게 계산하면 각 5점씩 부여 (10점)

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