자연계열 2번

아주대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2018mo/jayeon_2

(가) 합 $\displaystyle H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$ 에 대하여 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}H_n=\infty$ 을 증명하는 방법은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k&=1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\left(\frac19+\cdots\right)+\cdots\\&>1+\frac12+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\left(\frac1{16}+\cdots\right)+\cdots\\&=1+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots\end{aligned}$

(나) 다음과 같은 그림을 참고하면 다양한 부등식을 구할 수 있다.

(다) 수학적 귀납법을 이용하면 부등식 $\displaystyle \frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{k+j}>\frac{2j+2}{j+2k}$ 이 성립함을 알 수 있다. 단 $\displaystyle k$ 와 $\displaystyle j$ 는 자연수이다.

[문제 2-1] 제시문 (가)를 참고하여 다음 논제에 답하시오.(1) (4점) 모든 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여, $\displaystyle H_{2^k}\ge1+\frac k2$ 임을 보이시오.(2) (6점) 모든 자연수 $\displaystyle k,\ m$ 에 대하여, $\displaystyle H_{m^k}\ge1+k\left(\frac{m-1}{m}\right)$ 임을 보이시오.

[문제 2-2] 제시문 (나)를 참고하여 다음 논제에 답하시오.(1) (10점) 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, 부등식 $\displaystyle \ln2-\frac1{2n}<H_{2n}-H_n<\ln2$ 임을 보이시오.(2) (10점) 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, 부등식 $\displaystyle \ln(n+1)+\frac n{2(n+1)}<H_n$ 임을 보이시오.(힌트: 그림에서 사다리꼴을 생각한다.)

[문제 2-3] 제시문 (다)를 참고하여 다음 논제에 답하시오.(1) (10점) 합 $\displaystyle \frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{k+j}$ 가 1보다 크거나 같도록 하는 자연수 $\displaystyle j$ 를 자연수 $\displaystyle k$ 를 이용하여 나타내시오.(2) (10점) (1)을 이용하여 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, $\displaystyle H_{\frac{3^n-1}{2}}\ge n$ 임을 보이시오.

해설강의 준비중

논술 조화수와 로그함수

관련 개념강의 준비중

아주대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2018mo/jayeon_2

[문제 2-1]

+2점 · (1)

\displaystyle H_{2^k}

를

\displaystyle k+1

항으로 묶은 후 각 항을 제시문처럼 비교

+2점 · 정리하여 최종 식 도출

(1) $\displaystyle \begin{aligned}H_{2^k}&=1+\frac12+\left(\frac13+\frac1{2^2}\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac1{2^3}\right)+\cdots+\left(\frac1{2^{k-1}+1}\cdots+\frac1{2^k}\right)\\&\ge1+\frac12+\left(\frac1{2^2}+\frac1{2^2}\right)+\left(\frac1{2^3}+\frac1{2^3}+\frac1{2^3}+\frac1{2^3}\right)+\cdots+\left(\frac1{2^k}+\cdots+\frac1{2^k}\right)\\&=1+\frac12+\frac{2^1}{2^2}+\frac{2^2}{2^3}+\cdots+\frac{2^{k-1}}{2^k}\\&=1+\frac k2\end{aligned}$

+3점 · (2)

\displaystyle H_{m^k}

를

\displaystyle k+1

항으로 묶음

Caution. 부등식을 적용할 때는 등호가 성립하는 경우도 확인해야 한다: 여기서 부등호는 모든 자연수 $\displaystyle m,k$ 를 다루려면 $\displaystyle \ge$ 로 써야 한다. $\displaystyle m=1$ 이거나 $\displaystyle m=2,\ k=1$ 이면 등호가 성립한다. 문제의 결론은 $\displaystyle \ge$ 이므로 이 경우도 포함한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · 각 항을

\displaystyle \frac{m^k-m^{k-1}}{m^k}

과 비교

+1점 · 정리하여 최종 식 도출

Correction. [문제 2-1] (2)의 발문 배점은 6점이지만 채점기준의 세 항목은 3점·3점·1점으로 합계 7점이다. 모범답안 본문의 단계별 배점은 3점·2점·1점이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) (1)과 마찬가지로 $\displaystyle \begin{aligned}H_{m^k}&=1+\left(\frac12+\cdots+\frac1m\right)+\left(\frac1{m+1}+\cdots+\frac1{m^2}\right)+\cdots+\left(\frac1{m^{k-1}+1}+\cdots+\frac1{m^k}\right)\\&>1+\left(\frac1m+\cdots+\frac1m\right)+\left(\frac1{m^2}+\cdots+\frac1{m^2}\right)+\cdots+\left(\frac1{m^k}+\cdots+\frac1{m^k}\right)\\&=1+\left(\frac{m-1}{m}\right)+\left(\frac{m^2-m}{m^2}\right)+\left(\frac{m^3-m^2}{m^3}\right)+\cdots+\left(\frac{m^k-m^{k-1}}{m^k}\right)\\&=1+k\times\left(\frac{m-1}{m}\right)\end{aligned}$

[문제 2-2]

+4점 · (1) 부등식

\displaystyle \int_n^{2n}\frac{dx}x>H_{2n}-H_n

의 증명

(1) 먼저 [그림1]로부터 $\displaystyle \int_n^{2n}\frac{dx}x>H_{2n}-H_n$ 이므로, $\displaystyle \int_n^{2n}\frac{dx}x=\Biggl[\ln x\Biggr]_n^{2n}=\ln(2n)-\ln n=\ln(2n/n)=\ln2$ 이다.

+6점 · 부등식

\displaystyle \ln2-\frac1{2n}<H_{2n}-H_n

의 증명

한편, [그림2]에서 $\displaystyle H_{2n}-H_n+\frac1{2n}=H_{2n-1}-H_{n-1}>\int_n^{2n}\frac{dx}x=\ln(2n)-\ln(n)=\ln2$ 이므로, $\displaystyle \ln2-\frac1{2n}<H_{2n}-H_n$ 을 얻는다.

+3점 · (2) 사다리꼴 모양의 넓이와

\displaystyle 1/x

의 적분 비교 식 도출

(2) 각 자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 [그림3]처럼 사다리꼴을 생각하면 $\displaystyle \int_k^{k+1}\frac{dx}x<\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right)/2$ 이다.

+3점 · 위 식의 합으로

\displaystyle \ln(n+1)

의 상한을 사다리꼴의 넓이의 합으로 표현

따라서 $\displaystyle \sum_{l=1}^n\int_k^{k+1}\frac{dx}x<\sum_{l=1}^n\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right)/2=\frac12\left(\sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}\right)$ Correction. 이 줄의 앞 두 합은 합의 첨자가 $\displaystyle l$ 인데 항 안에는 $\displaystyle k$ 가 남아 있다. 두 곳의 첨자를 모두 $\displaystyle k$ 로 통일해야 뒤 계산이 이어진다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+4점 · 정리하여 최종 식 도출

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\left(\sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac1k-1+\frac1{n+1}\right)\\&=\sum_{k=1}^n\frac1k+\left(\frac12\right)\left(-1+\frac1{n+1}\right)=\sum_{k=1}^n\frac1k+\frac{-n}{2(n+1)}\end{aligned}$ 이제 $\displaystyle \ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac1k-\frac{2n}{n+1}$ 이므로 $\displaystyle \ln(n+1)+\frac n{2(n+1)}<H_n$ 이 성립한다.Correction. 마지막 문장에 있는 $\displaystyle \frac{2n}{n+1}$ 은 바로 앞 계산에 따라 $\displaystyle \frac{n}{2(n+1)}$ 이어야 한다. 최종 결론에는 올바른 값이 쓰여 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-3]

+10점 · (1) 제시문 (다)를 참고하여

\displaystyle j

를

\displaystyle k

를 사용하여 표현

(1) $\displaystyle \frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{k+j}>\frac{2j+2}{j+2k}$ 에서 $\displaystyle \frac{2j+2}{j+2k}\ge1$ 인 $\displaystyle j$ 를 $\displaystyle k$ 로 나타내면 $\displaystyle 2j+2\ge j+2k$ 에서 $\displaystyle j\ge2k-2$ 이다.

+2점 · (2) 각

\displaystyle k

에 대해 (1)에서 찾은 항까지의 합이 1보다 큼을 관찰

(2) 앞의 (1)에서 $\displaystyle j=2k-2$ 이 되도록 $\displaystyle j$ 를 잡아 나가면 항들의 그룹은 항상 1보다 크거나 같게 된다.

+2점 · 합이 1보다 크게 하는 각 묶음의 항의 수 확인

항들의 그룹 $\displaystyle \frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{k+(2k-2)}$ 에 속하는 항의 개수는 $\displaystyle 2k-1$ 임을 참조하면

+2점 · 이 수가 등비수열임을 관찰

항의 개수를 $\displaystyle 1,\ 2\times2-1=3,\ 2\times5-1=3^2,\ 2\times14-1=3^3,\ \cdots$ 로 잡아나가

+4점 · 정리하여 증명 마무리

$\displaystyle 1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}=(3^n-1)(3-1)=(3^n-1)/2$ 까지 더하면 그 합은 $\displaystyle n$ 보다 크게 된다. 즉, $\displaystyle 1+\left(\frac12+\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\cdots+\frac1{13}\right)+\cdots+\left(\cdots+\frac1{(3^n-1)/2}\right)=H_{(3^n-1)/2}\ge n$ 가 성립한다.Correction. 등비수열의 합은 $\displaystyle (3^n-1)/(3-1)$ 이다. 원문의 $\displaystyle (3^n-1)(3-1)$ 에는 나눗셈 표시가 빠져 있다. 또한 $\displaystyle n=1$ 일 때 합은 1이므로 “ $\displaystyle n$ 보다 크게”는 “ $\displaystyle n$ 보다 크거나 같게”로 읽어야 한다. 최종 부등식은 이를 올바르게 포함한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-3] (1) $\displaystyle 2k-2$ 보다 큰 값을 잡은 경우 제시문 (다)를 잘 사용한 경우 3점.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.