자연계열 2번

(1) $\displaystyle \begin{aligned}H_{2^k}&=1+\frac12+\left(\frac13+\frac1{2^2}\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac1{2^3}\right)+\cdots+\left(\frac1{2^{k-1}+1}\cdots+\frac1{2^k}\right)\\&\ge1+\frac12+\left(\frac1{2^2}+\frac1{2^2}\right)+\left(\frac1{2^3}+\frac1{2^3}+\frac1{2^3}+\frac1{2^3}\right)+\cdots+\left(\frac1{2^k}+\cdots+\frac1{2^k}\right)\\&=1+\frac12+\frac{2^1}{2^2}+\frac{2^2}{2^3}+\cdots+\frac{2^{k-1}}{2^k}\\&=1+\frac k2\end{aligned}$

(2) (1)과 마찬가지로$\displaystyle \begin{aligned}H_{m^k}&=1+\left(\frac12+\cdots+\frac1m\right)+\left(\frac1{m+1}+\cdots+\frac1{m^2}\right)+\cdots+\left(\frac1{m^{k-1}+1}+\cdots+\frac1{m^k}\right)\\&>1+\left(\frac1m+\cdots+\frac1m\right)+\left(\frac1{m^2}+\cdots+\frac1{m^2}\right)+\cdots+\left(\frac1{m^k}+\cdots+\frac1{m^k}\right)\\&=1+\left(\frac{m-1}{m}\right)+\left(\frac{m^2-m}{m^2}\right)+\left(\frac{m^3-m^2}{m^3}\right)+\cdots+\left(\frac{m^k-m^{k-1}}{m^k}\right)\\&=1+k\times\left(\frac{m-1}{m}\right)\end{aligned}$

(1) 먼저 [그림1]로부터 $\displaystyle \int_n^{2n}\frac{dx}x>H_{2n}-H_n$ 이므로,$\displaystyle \int_n^{2n}\frac{dx}x=\Biggl[\ln x\Biggr]_n^{2n}=\ln(2n)-\ln n=\ln(2n/n)=\ln2$ 이다.

한편, [그림2]에서$\displaystyle H_{2n}-H_n+\frac1{2n}=H_{2n-1}-H_{n-1}>\int_n^{2n}\frac{dx}x=\ln(2n)-\ln(n)=\ln2$ 이므로,$\displaystyle \ln2-\frac1{2n}<H_{2n}-H_n$을 얻는다.

(2) 각 자연수 $\displaystyle k$에 대해 [그림3]처럼 사다리꼴을 생각하면$\displaystyle \int_k^{k+1}\frac{dx}x<\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right)/2$ 이다.

따라서$\displaystyle \sum_{l=1}^n\int_k^{k+1}\frac{dx}x<\sum_{l=1}^n\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right)/2=\frac12\left(\sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}\right)$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\left(\sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac1k-1+\frac1{n+1}\right)\\&=\sum_{k=1}^n\frac1k+\left(\frac12\right)\left(-1+\frac1{n+1}\right)=\sum_{k=1}^n\frac1k+\frac{-n}{2(n+1)}\end{aligned}$이제 $\displaystyle \ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac1k-\frac{2n}{n+1}$ 이므로 $\displaystyle \ln(n+1)+\frac n{2(n+1)}<H_n$ 이 성립한다.

(1) $\displaystyle \frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{k+j}>\frac{2j+2}{j+2k}$ 에서 $\displaystyle \frac{2j+2}{j+2k}\ge1$인 $\displaystyle j$를 $\displaystyle k$로 나타내면$\displaystyle 2j+2\ge j+2k$ 에서 $\displaystyle j\ge2k-2$이다.

(2) 앞의 (1)에서 $\displaystyle j=2k-2$이 되도록 $\displaystyle j$를 잡아 나가면 항들의 그룹은 항상 1보다 크거나 같게 된다.

항들의 그룹 $\displaystyle \frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{k+(2k-2)}$ 에 속하는 항의 개수는 $\displaystyle 2k-1$임을 참조하면

항의 개수를 $\displaystyle 1,\ 2\times2-1=3,\ 2\times5-1=3^2,\ 2\times14-1=3^3,\ \cdots$ 로 잡아나가

$\displaystyle 1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}=(3^n-1)(3-1)=(3^n-1)/2$까지 더하면 그 합은 $\displaystyle n$보다 크게 된다. 즉,$\displaystyle 1+\left(\frac12+\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\cdots+\frac1{13}\right)+\cdots+\left(\cdots+\frac1{(3^n-1)/2}\right)=H_{(3^n-1)/2}\ge n$가 성립한다.