의학계 1번

(1) 점 $\displaystyle Q$와 점 $\displaystyle P$사이 거리의 제곱은 $\displaystyle (2-k-l)^2+(1+2k+l)^2+(2-3k+l)^2$이다.이를 전개하면 $\displaystyle 14k^2-12k+3l^2+2l+9$ 이며 완전 제곱식으로 표현하면

$\displaystyle 14(k-\frac37)^2+3(l+\frac13)^2-14\times\frac9{49}-3\times\frac19+9$이 된다. 그러므로 $\displaystyle k=\frac37,\ l=-\frac13$이 거리제곱을, 따라서 거리를 최소가 되게 한다.

(2) 점 $\displaystyle Q$와 점 $\displaystyle P$사이 거리의 제곱은 $\displaystyle (x-k-l)^2+(y+2k+l)^2+(z-3k+l)^2$이다.이를 전개하면 $\displaystyle 14k^2+(-2x+4y-6z)k+3l^2+(-2x+2y+2z)l+x^2+y^2+z^2$이며 완전 제곱식으로 표현하면

$\displaystyle \begin{aligned}&14\left(k+\frac{-x+2y-3z}{14}\right)^2+3\left(l+\frac{-x+y+z}{3}\right)^2-14\times\left(\frac{-x+2y-3z}{14}\right)^2-3\left(\frac{-x+y+z}{3}\right)^2\\&\quad+x^2+y^2+z^2\end{aligned}$이 된다. 그러므로 $\displaystyle k=\frac{x-2y+3z}{14},\ l=\frac{x-y-z}{3}$가 거리제곱을, 따라서 거리를 최소가 되게 한다.

(1) 제시문 (나)의 $\displaystyle A$식을 전개하면$\displaystyle 4a^2+4b^2-2(-p+q+r-s)a-2(-p-q+r+s)b+p^2+q^2+r^2+s^2$이 되며 이를 완전제곱식으로 표현하면

$\displaystyle \begin{aligned}&4\left(a-\frac{-p+q+r-s}{4}\right)^2+4\left(b-\frac{-p-q+r+s}{4}\right)^2-4\times\left(\frac{-p+q+r-s}{4}\right)^2-4\times\left(\frac{-p-q+r+s}{4}\right)^2\\&\quad+p^2+q^2+r^2+s^2\end{aligned}$이 된다. 그러므로 $\displaystyle a=\frac{-p+q+r-s}{4},\ b=\frac{-p-q+r+s}{4}$가 $\displaystyle A$를 최소로 만들어 준다.

(2) 제시문 (나)에 주어진 것처럼 $\displaystyle p,q,r,s$는 함수 $\displaystyle f(x)$를 네 개의 작은 구간 $\displaystyle [-2,-1],\ [-1,0],\ [0,1],\ [1,2]$ 위에서 적분한 값들이기 때문에 (1)에서 구한 $\displaystyle a,b$는 다음과 같이 표현된다.$\displaystyle \begin{aligned}a&=\frac{-p+q+r-s}{4}\\&=-\frac14\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx+\frac14\int_{-1}^0f(x)\,dx+\frac14\int_0^1f(x)\,dx-\frac14\int_1^2f(x)\,dx,\\b&=\frac{-p-q+r+s}{4}\\&=-\frac14\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx-\frac14\int_{-1}^0f(x)\,dx+\frac14\int_0^1f(x)\,dx+\frac14\int_1^2f(x)\,dx.\end{aligned}$

그러므로 함수 $\displaystyle g(x),h(x)$를$\displaystyle g(x)=\begin{cases}-1,&-2\le x<-1\\1,&-1\le x<0\\1,&0\le x<1\\-1,&1\le x\le2\end{cases},\qquad h(x)=\begin{cases}-1,&-2\le x<-1\\-1,&-1\le x<0\\1,&0\le x<1\\1,&1\le x\le2\end{cases}$과 같이 정의하면 $\displaystyle a=\frac14\int_{-2}^2f(x)g(x)\,dx,\ b=\frac14\int_{-2}^2f(x)h(x)\,dx$로 표현할 수 있다.

이 때 적분 $\displaystyle \int_{-2}^2(g(x))^2\,dx,\ \int_{-2}^2(h(x))^2\,dx,\ \int_{-2}^2g(x)h(x)\,dx$들의 값들은 각각 $\displaystyle 4,\ 4,\ 0$이다.

(3) $\displaystyle \cos(\frac\pi2(x-p))$는$\displaystyle \cos\left(\frac\pi2(x-p)\right)=\cos\left(\frac\pi2x\right)\cos\left(\frac\pi2p\right)+\sin\left(\frac\pi2x\right)\sin\left(\frac\pi2p\right)\qquad(*)$과 같이 표현이 되기 때문에, 우선 함수들 $\displaystyle \cos(\frac\pi2x),\ \sin(\frac\pi2x)$에 대하여 $\displaystyle A$값이 최소가 되는 $\displaystyle a,b$를 구하자.

$\displaystyle f(x)=\cos(\frac\pi2x)$ 인 경우 (2)에서 구한 함수 $\displaystyle g(x),h(x)$와 $\displaystyle \cos(\frac\pi2x)g(x)$가 우함수이고, $\displaystyle \cos(\frac\pi2x)h(x)$가 기함수라는 사실을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}a&=\frac14\int_{-2}^2\cos\left(\frac\pi2x\right)g(x)\,dx\\&=\frac14\cdot2\cdot\int_0^2\cos\left(\frac\pi2x\right)g(x)\,dx\\&=\frac12\left[\int_0^1\cos\left(\frac\pi2x\right)\,dx-\int_1^2\cos\left(\frac\pi2x\right)\,dx\right]\\&=\frac12\frac2\pi\left[\sin\left(\frac\pi2\right)-\sin0-\left(\sin\left(\frac\pi2 2\right)-\sin\left(\frac\pi2\right)\right)\right]=\frac2\pi\end{aligned}$

과$\displaystyle b=\frac14\int_{-2}^2\cos\left(\frac\pi2x\right)h(x)\,dx=0$를 얻는다.

또한 $\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi2x)$ 인 경우, $\displaystyle \sin(\frac\pi2x)g(x)$가 기함수이고, $\displaystyle \sin(\frac\pi2x)h(x)$가 우함수라는 사실 때문에$\displaystyle a=\frac14\int_{-2}^2\sin\left(\frac\pi2x\right)g(x)\,dx=0$

과$\displaystyle \begin{aligned}b&=\frac14\int_{-2}^2\sin\left(\frac\pi2x\right)h(x)\,dx\\&=\frac14\cdot2\cdot\int_0^2\sin\left(\frac\pi2x\right)h(x)\,dx\\&=\frac12\left[\int_0^1\sin\left(\frac\pi2x\right)\,dx+\int_1^2\sin\left(\frac\pi2x\right)\,dx\right]\\&=\frac12\left(-\frac2\pi\right)\left[\cos\left(\frac\pi2\right)-\cos0+\cos\left(\frac\pi2 2\right)-\cos\left(\frac\pi2\right)\right]=\frac2\pi\end{aligned}$를 얻는다.