자연계열 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle n$번째 삼각형의 높이를 $\displaystyle h_n$, $\displaystyle n$번째 원의 반지름을 $\displaystyle r_n$이라 하자. 주어진 정삼각형의 높이는 $\displaystyle h_1=\frac{\sqrt3}{2}$이다. 정삼각형의 중심은 높이를 $\displaystyle 2:1$로 내분하므로 첫 번째 원의 반지름은 $\displaystyle r_1=\frac{h_1}{3}=\frac{\sqrt3}{6}$이다. 같은 이유로 $\displaystyle h_2=\frac{h_1}{3}$이고 $\displaystyle r_2=\frac{h_2}{3}$이므로 $\displaystyle r_2=\frac{r_1}{3}$이다. 같은 과정이 반복되므로 $\displaystyle r_n$은 공비가 $\displaystyle \frac13$인 등비수열을 이루고, $\displaystyle S_n$은 공비가 $\displaystyle \frac19$인 등비수열을 이룬다. 따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac19\right)^{n-1}S_1=\frac{3\pi}{32}.$

첫 번째 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{A}$에서 $\displaystyle \mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{D}$, $\displaystyle \mathrm{O}$에서 $\displaystyle \mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{E}$라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOE}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}$가 서로 닮은 사실을 이용하면 $\displaystyle h_1-r_1:r_1=3:1$이다. 따라서 $\displaystyle r_1=\frac{h_1}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$이다. 이제 $\displaystyle h_2=h_1-2r_1=\frac{h_1}{2}$이므로 $\displaystyle r_2=\frac{r_1}{2}$이다. 같은 방법을 반복하면, $\displaystyle h_n=h_{n-1}-2r_{n-1}=2r_{n-1}$이고 $\displaystyle r_n=\frac{h_n}{4}=\frac{r_{n-1}}{2}$이다. 그러므로 $\displaystyle r_n$은 공비가 $\displaystyle \frac12$인 등비수열임을 알 수 있고, $\displaystyle r_{100}=r_1\left(\frac12\right)^{99}=\frac{\sqrt2}{2^{100}}$이다.

[문제 1-2](1) 원 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle C_2$의 중심 사이의 거리는 반지름의 합과 같으므로$\displaystyle \sqrt{(1-x_2)^2+(a-y_2)^2}=a+y_2$이다. 이 식을 제곱하여 $\displaystyle y_2=ax_2^2$을 대입하면 $\displaystyle (1-x_2)^2=4a^2x_2^2$을 얻는다. 제곱근을 취하면 $\displaystyle 1-x_2=2ax_2$이고, $\displaystyle x_2=\frac{1}{2a+1}$이다.

(2) (1)의 풀이를 $\displaystyle C_{n-1}$과 $\displaystyle C_n$에 대하여 적용하면$\displaystyle \sqrt{(x_{n-1}-x_n)^2+(y_{n-1}-y_n)^2}=y_{n-1}+y_n$을 얻는다. 제곱하여 정리하면 $\displaystyle (x_{n-1}-x_n)^2=4a^2x_{n-1}^2x_n^2$이 되고 제곱근을 취하여 $\displaystyle x_{n-1}-x_n=2ax_{n-1}x_n$을 얻는다. 양변을 $\displaystyle x_{n-1}x_n$으로 나누면$\displaystyle \frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}}=2a$이다. 즉 $\displaystyle \frac{1}{x_n}$은 공차 $\displaystyle 2a$인 등차수열이 된다. 그러므로$\displaystyle \frac{1}{x_{101}}=\frac{1}{x_1}+(101-1)2a=1+200a.$즉, $\displaystyle x_{101}=\frac{1}{200a+1}$.

(3) $\displaystyle C_n$의 반지름은 $\displaystyle y_n=ax_n^2=\frac{a}{(1+2a(n-1))^2}$이므로 $\displaystyle S_n=\frac{\pi a^2}{(1+2a(n-1))^4}$이다. 그러므로 구하는 극한은 $\displaystyle \frac{\pi}{16a^2}$이다.