자연계열 2번

아주대 2019학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019mo/jayeon_2

[문항 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) 태극문양은 [그림 2-1]과 같이, 중심이 원점이고 반지름이 $\displaystyle R$ 인 원의 내부에 반지름이 $\displaystyle \frac{R}{2}$ 인 반원 두 개가 차례대로 엇갈려 그려진 모양이다.

그림 2-1. 태극문양 그림　　그림 2-2. 변형된 태극문양

함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle -R\le x<0$ 일 때 $\displaystyle f(x)=-\sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2-\left(x+\frac{R}{2}\right)^2}$ 이고, $\displaystyle 0\le x\le R$ 일 때 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2-\left(x-\frac{R}{2}\right)^2}$ 라고 정의하자. 그러면 태극문양에서 반지름이 $\displaystyle \frac{R}{2}$ 인 반원 두 개로 이루어진 곡선은 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프로 생각할 수 있다.이제 원점을 지나고 $\displaystyle x$ 축과 이루는 각이 $\displaystyle \theta$ (단, $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ )인 직선 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$ 를 생각하여, 태극문양의 윗부분과 직선의 윗부분의 공통영역 ([그림 2-1]에서 색칠된 부분)의 넓이를 $\displaystyle S(\theta)$ 라 하자. 즉, $\displaystyle S(\theta)$ 는, $\displaystyle -R\le x\le R$ 일 때 $\displaystyle y\le\sqrt{R^2-x^2},\ y\ge f(x),\ y\ge(\tan\theta)x$ 을 모두 만족하는 평면 영역의 넓이다.

(나) 제시문 (가)에서 주어진 태극문양을 결정하는 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 삼차함수 $\displaystyle g(x)=k(x^3+ax^2+bx+c)$ 로 대체하여 [그림 2-2]와 같이 변형된 태극문양을 생각하자. 변형된 태극문양을 그리기 위해서는 $\displaystyle g(x)$ 가 다음 두 조건을 모두 만족하여야 한다.(a) $\displaystyle g(-R)=g(0)=g(R)=0$ .(b) $\displaystyle -R<x<0$ 일 때 $\displaystyle g(x)<0$ 이고, $\displaystyle 0<x<R$ 일 때 $\displaystyle g(x)>0$ 이다.또한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프가 [그림 2-3]과 같은 형태가 되면 큰 원 안에 그려지지 않으므로 다음 조건도 만족해야 한다.(c) $\displaystyle -R<x<R$ 일 때, $\displaystyle g(x)$ 의 그래프는 원 $\displaystyle x^2+y^2=R^2$ 과 만나지 않는다.조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 변형된 태극문양 함수라 부르자.

그림 2-3. 좋지 않은 예

[문제 2-1] (25점) 제시문 (가)를 참조하여 다음 논제에 답하라.(1) 다음 그림은 [그림 2-1]의 제1사분면 부분을 다시 그린 것이다. 색칠된 부분 $\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{B}$ 의 넓이를 각각 구하라.

(2) $\displaystyle S(\theta)$ 가 최대가 되는 $\displaystyle \theta$ 의 값을 구하라.

[문제 2-2] (25점) 제시문 (가), (나)를 참고하여 다음 논제에 답하라.(1) 삼차함수 $\displaystyle g(x)=k(x^3+ax^2+bx+c)$ 가 변형된 태극문양 함수가 되도록 하는 $\displaystyle a,\ b,\ c$ 의 값과 $\displaystyle k$ 의 범위를 구하라.(2) 제시문 (가)의 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le x\le R$ 일 때 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle F$ 라 하자. 변형된 태극문양 함수 $\displaystyle g(x)=k(x^3+ax^2+bx+c)$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le x\le R$ 일 때 $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle G$ 라 하자. $\displaystyle F=G$ 가 성립할 때 $\displaystyle k$ 를 결정하라.

해설강의 준비중

아주대 2019학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019mo/jayeon_2

[문제 2-1](1) 그림에서 직선 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$ 와 반원이 만나는 점을 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , 반원의 중심 $\displaystyle (R/2,0)$ 을 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{QP}$ 와 $\displaystyle x$ 축이 이루는 각은 $\displaystyle 2\theta$ 이다. 한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 는 이등변삼각형이고, 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 의 길이의 절반은 $\displaystyle \frac{R}{2}\cos\theta$ , 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 에 내린 수선의 길이는 $\displaystyle \frac{R}{2}\sin\theta$ 임을 확인할 수 있다.

+4점 · 1단계:

\displaystyle \mathrm{A}

의 면적 표현이 올바름

\displaystyle \mathrm{A}

의 면적 = 호

\displaystyle \mathrm{QOP}

의 넓이 - 삼각형

\displaystyle \mathrm{OPQ}

의 넓이, 또는

\displaystyle \mathrm{A}

의 면적 = 반원

\displaystyle \mathrm{QOT}

의 넓이 - 호

\displaystyle \mathrm{QPT}

의 넓이 - 삼각형

\displaystyle \mathrm{OPQ}

의 넓이

따라서 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 면적 $\displaystyle =\text{호 }\mathrm{QOP}$ 의 넓이 $\displaystyle -$ 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이

+4점 · 2단계:

\displaystyle \mathrm{A}

의 면적의 완전한 답

\displaystyle \frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta)

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2-\theta\left(\frac{R}{2}\right)^2-\frac{R}{2}\cos\theta\frac{R}{2}\sin\theta\\&=\frac{R^2}{4}\left(\frac{\pi}{2}-\theta-\sin\theta\cos\theta\right)=\frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta).\end{aligned}$

+4점 · 3단계:

\displaystyle \mathrm{B}

의 면적 표현이 올바름

\displaystyle \mathrm{B}

의 면적 = 호

\displaystyle \mathrm{OST}

의 넓이 - 반원

\displaystyle \mathrm{QOT}

의 넓이 +

\displaystyle \mathrm{A}

의 넓이, 또는

\displaystyle \mathrm{B}

의 면적 = 호

\displaystyle \mathrm{OST}

의 넓이 - 호

\displaystyle \mathrm{QPT}

의 넓이 - 삼각형

\displaystyle \mathrm{OPQ}

의 넓이

직선 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$ 가 원 $\displaystyle x^2+y^2=R^2$ 과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{S}$ 라 하면, $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 면적 $\displaystyle =\text{호 }\mathrm{OST}$ 의 넓이 $\displaystyle -$ 반원 $\displaystyle \mathrm{QOT}$ 의 넓이 $\displaystyle +\mathrm{A}$ 의 넓이

+3점 · 4단계:

\displaystyle \mathrm{B}

의 면적의 완전한 답

\displaystyle \frac{R^2}{8}(2\theta-\sin2\theta)

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\theta R^2-\frac{\pi}{8}R^2+\frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta)\\&=\frac14\theta R^2-\frac{R^2}{8}\sin2\theta=\frac{R^2}{8}(2\theta-\sin2\theta).\end{aligned}$

+5점 · 1단계:

\displaystyle S(\theta)

의 식

\displaystyle S(\theta)=R^2\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\sin2\theta}{4}\right)

(2) $\displaystyle S(\theta)=$ 반지름 $\displaystyle R$ 인 반원의 넓이 $\displaystyle -\mathrm{A}$ 의 넓이 $\displaystyle -\mathrm{B}$ 의 넓이 $\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta)-\frac{R^2}{8}(2\theta-\sin2\theta)\\&=R^2\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\sin2\theta}{4}\right)\end{aligned}$ 이다.

+5점 · 2단계: 최댓값이 되는

\displaystyle \theta

계산

\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}

. ※

\displaystyle \theta

를 구하지 않고

\displaystyle S

의 최대값

\displaystyle R^2\left(\frac{3\pi}{8}+\frac14\right)

만 기입한 경우만 3점만 부여

이를 미분하면 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)=\frac{R^2}{2}\cos2\theta=0$ , 따라서 $\displaystyle \cos2\theta=0$ 이다. 즉, $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$ 에서 극값이다. 한편, $\displaystyle S(0)<S\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 는 자명하므로, $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$ 에서 최대가 된다.

+6점 · 1단계 (6점/각각 2점):

\displaystyle a=0,b=-R^2,c=0

[문제 2-2](1) $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=-R,0,R$ 에서 근을 가지므로, $\displaystyle g(x)=kx(x-R)(x+R)=k(x^3-R^2x)$ 가 된다. 따라서 $\displaystyle a=c=0$ 이고 $\displaystyle b=-R^2$ 이다.

+4점 · 2단계: 부등식 세우기

\displaystyle k^2x^2(x^2-R^2)^2<R^2-x^2

이제, $\displaystyle 0<x<R$ 에서 $\displaystyle g(x)<f(x)$ 가 되어야 하므로, $\displaystyle k^2x^2(x^2-R^2)^2<R^2-x^2$ 을 만족해야 하고, 따라서 $\displaystyle k^2x^2(R^2-x^2)<1$ , 즉 $\displaystyle k^2<\frac{1}{x^2(R^2-x^2)}$ 을 만족해야 한다.Correction. 여기서 비교할 대상은 작은 반원을 나타내는 $\displaystyle f(x)$ 가 아니라 큰 원의 위쪽 경계 $\displaystyle \sqrt{R^2-x^2}$ 이다. 따라서 조건은 $\displaystyle g(x)<\sqrt{R^2-x^2}$ 이며, 원문의 다음 부등식은 이 경계로 계산한 것이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · 3단계: 부등식 풀이를 사용한

\displaystyle k

의 범위

\displaystyle -\frac{2}{R^2}<k<0

한편, $\displaystyle \left(\frac{1}{x^2(R^2-x^2)}\right)^{\prime}=\frac{2R^2x-4x^3}{(x^2(R^2-x^2))^2}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{x^2(R^2-x^2)}$ 는 $\displaystyle x=\frac{R}{\sqrt2}$ 에서 최솟값 $\displaystyle \frac{4}{R^4}$ 을 가진다. 따라서, $\displaystyle k^2<\left(\frac{2}{R^2}\right)^2$ 이다. $\displaystyle k<0$ 이므로, 원하는 $\displaystyle k$ 의 범위는 $\displaystyle -\frac{2}{R^2}<k<0$ 이다.Correction. 역수의 미분이므로 분자는 $\displaystyle 4x^3-2R^2x$ 이다. 원문은 분자의 부호를 반대로 적었다. 최솟값과 최종 범위는 올바르다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · 1단계: 적분

\displaystyle G=\int_0^Rg(x)\,dx

이 보이고 이를 끝까지 수행 (답의 형태에 무관)

(2) $\displaystyle F=\frac{\pi R^2}{4}\times\frac12=\frac{\pi R^2}{8}$ 이고, $\displaystyle G=k\int_0^R(x^3-R^2x)\,dx=k\left(\frac14R^4-\frac12R^4\right)=-k\frac{R^4}{4}$ 이다.

+5점 · 2단계:

\displaystyle F=G

로 놓고 완전한 답 계산

\displaystyle k=-\frac{\pi}{2R^2}

$\displaystyle F=G$ 이므로 $\displaystyle \frac{\pi R^2}{8}=-\frac{k}{4}R^4$ , 따라서 $\displaystyle k=-\frac{\pi}{2R^2}$ 이다.

채점기준 적용원칙

1. 채점기준에서 제시한 중간단계를 없어도, 논리적 과정과 답이 맞으면 만점 부여.

2. 최종 답이 틀린 경우 채점기준에서 제시한 단계별로 점수 부여.

3. 중간단계는 틀렸으나 이후 과정이 논리적으로 완벽하면 다음 단계의 점수 부여. 단, [문제 1-2] (2) 예외.

4. 과정이 맞고 단순한 계산 실수가 있는 경우 2점씩 감점.

첨삭 사례

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