자연계열 2번

따라서$\displaystyle \mathrm{A}$의 면적 $\displaystyle =\text{호 }\mathrm{QOP}$의 넓이 $\displaystyle -$ 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2-\theta\left(\frac{R}{2}\right)^2-\frac{R}{2}\cos\theta\frac{R}{2}\sin\theta\\&=\frac{R^2}{4}\left(\frac{\pi}{2}-\theta-\sin\theta\cos\theta\right)=\frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta).\end{aligned}$

직선 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$가 원 $\displaystyle x^2+y^2=R^2$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{S}$라 하면,$\displaystyle \mathrm{B}$의 면적 $\displaystyle =\text{호 }\mathrm{OST}$의 넓이 $\displaystyle -$ 반원 $\displaystyle \mathrm{QOT}$의 넓이 $\displaystyle +\mathrm{A}$의 넓이$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\theta R^2-\frac{\pi}{8}R^2+\frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta)\\&=\frac14\theta R^2-\frac{R^2}{8}\sin2\theta=\frac{R^2}{8}(2\theta-\sin2\theta).\end{aligned}$

(2) $\displaystyle S(\theta)=$반지름 $\displaystyle R$인 반원의 넓이 $\displaystyle -\mathrm{A}$의 넓이 $\displaystyle -\mathrm{B}$의 넓이$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{R^2}{8}(\pi-2\theta-\sin2\theta)-\frac{R^2}{8}(2\theta-\sin2\theta)\\&=R^2\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\sin2\theta}{4}\right)\end{aligned}$이다. 이를 미분하면 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)=\frac{R^2}{2}\cos2\theta=0$, 따라서 $\displaystyle \cos2\theta=0$이다. 즉, $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$에서 극값이다. 한편, $\displaystyle S(0)<S\left(\frac{\pi}{4}\right)$는 자명하므로, $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$에서 최대가 된다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=-R,0,R$에서 근을 가지므로, $\displaystyle g(x)=kx(x-R)(x+R)=k(x^3-R^2x)$가 된다. 따라서 $\displaystyle a=c=0$이고 $\displaystyle b=-R^2$이다.이제, $\displaystyle 0<x<R$에서 $\displaystyle g(x)<f(x)$가 되어야 하므로, $\displaystyle k^2x^2(x^2-R^2)^2<R^2-x^2$을 만족해야 하고, 따라서 $\displaystyle k^2x^2(R^2-x^2)<1$, 즉 $\displaystyle k^2<\frac{1}{x^2(R^2-x^2)}$을 만족해야 한다.Correction. 여기서 비교할 대상은 작은 반원을 나타내는 $\displaystyle f(x)$가 아니라 큰 원의 위쪽 경계 $\displaystyle \sqrt{R^2-x^2}$이다. 따라서 조건은 $\displaystyle g(x)<\sqrt{R^2-x^2}$이며, 원문의 다음 부등식은 이 경계로 계산한 것이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, $\displaystyle \left(\frac{1}{x^2(R^2-x^2)}\right)^{\prime}=\frac{2R^2x-4x^3}{(x^2(R^2-x^2))^2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{x^2(R^2-x^2)}$는 $\displaystyle x=\frac{R}{\sqrt2}$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{4}{R^4}$을 가진다. 따라서, $\displaystyle k^2<\left(\frac{2}{R^2}\right)^2$이다. $\displaystyle k<0$이므로, 원하는 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle -\frac{2}{R^2}<k<0$이다.Correction. 역수의 미분이므로 분자는 $\displaystyle 4x^3-2R^2x$이다. 원문은 분자의 부호를 반대로 적었다. 최솟값과 최종 범위는 올바르다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) $\displaystyle F=\frac{\pi R^2}{4}\times\frac12=\frac{\pi R^2}{8}$이고, $\displaystyle G=k\int_0^R(x^3-R^2x)\,dx=k\left(\frac14R^4-\frac12R^4\right)=-k\frac{R^4}{4}$이다.$\displaystyle F=G$이므로 $\displaystyle \frac{\pi R^2}{8}=-\frac{k}{4}R^4$, 따라서 $\displaystyle k=-\frac{\pi}{2R^2}$이다.