의학계 1번

[문항 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) 급수와 극한을 사용하여 다양한 도형의 넓이를 구할 수 있다. 주어진 삼각형에서 각 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $\displaystyle T_1$이라 하자. 삼각형 $\displaystyle T_1$ 위쪽에 있는 삼각형의 각 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $\displaystyle T_2$라 하자. 이를 반복하여, 2 이상의 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle T_{n-1}$ 위쪽에 있는 삼각형의 각 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $\displaystyle T_n$이라 하면, [그림 1-1]과 같은 도형을 얻는다.

그림 1-1

각 단계에서 만들어지는 삼각형 $\displaystyle T_1,T_2,T_3,\ldots$은 서로 닮음이고, 삼각형 $\displaystyle T_n$의 한 변의 길이는 $\displaystyle T_{n-1}$의 대응하는 변의 길이의 절반이 된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle T_n$의 넓이를 $\displaystyle S_n$이라고 하면 $\displaystyle S_n$은 공비 $\displaystyle \frac14$인 등비수열을 이룬다. 그러므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{n-1}S_1=\frac43S_1$이 됨을 알 수 있다.

(나) [그림 1-2]와 같이 포물선 $\displaystyle y=\frac12x^2$ 위의 점 $\displaystyle \left(1,\frac12\right)$을 중심으로 하고, 반지름이 $\displaystyle \frac12$인 원 $\displaystyle C_1$을 생각하면 이 원은 $\displaystyle x$축과 접한다. 포물선 위의 점 $\displaystyle \left(\frac12,\frac18\right)$을 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle \frac18$인 원 $\displaystyle C_2$는 원 $\displaystyle C_1$과 한 점에서 만나고 $\displaystyle x$축과 접한다. 역시 포물선 위의 점 $\displaystyle \left(\frac13,\frac{1}{18}\right)$을 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle \frac{1}{18}$인 원 $\displaystyle C_3$는 역시 원 $\displaystyle C_2$와 한 점에서 만나고 $\displaystyle x$축과 접한다.

그림 1-2

[문제 1-1] (20점) 제시문 (가)와 [그림 1-3], [그림 1-4]를 참고하여 다음 논제에 답하라.

(1) [그림 1-3]와 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형을 생각하고, 이 정삼각형에 내접하는 원을 $\displaystyle A_1$이라 하자. 삼각형의 두 빗변에 접하고 원 $\displaystyle A_1$과 한 점에서 만나는 원을 $\displaystyle A_2$라 하자. 이러한 과정을 반복하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 원 $\displaystyle A_n$을 얻을 수 있다. $\displaystyle A_n$의 넓이를 $\displaystyle S_n$이라 할 때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값을 구하라.(2) [그림 1-4]와 같이 두 빗변의 길이가 3이고 밑변의 길이가 2인 이등변삼각형을 생각하자. 문제 (1)과 같이 이등변삼각형에 내접하는 원을 $\displaystyle B_1$, 두 빗변에 접하고 $\displaystyle B_1$과 한 점에서 만나는 원을 $\displaystyle B_2$라 하고, 이러한 과정을 반복하여 원들을 계속해서 얻는다. 100번째 원 $\displaystyle B_{100}$의 반지름을 구하라.

[문제 1-2] (30점) 포물선 $\displaystyle y=ax^2$ (단, $\displaystyle a>0$)이 있을 때 제시문 (나)와 같이 원들을 계속해서 그릴 수 있다. 포물선 $\displaystyle y=ax^2$ 위의 점 $\displaystyle (1,a)$를 중심으로 하고 $\displaystyle x$축에 접하는 원 $\displaystyle C_1$을 생각하자. 포물선 위의 점 $\displaystyle (x_2,y_2)$ (단, $\displaystyle 0<x_2<1$)를 중심으로 하고 $\displaystyle x$축에 접하며 $\displaystyle C_1$과 한 점에서 만나는 원을 $\displaystyle C_2$라 하자. 이와 같은 과정을 반복하여, 중심이 $\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1})$인 $\displaystyle n-1$번째 원 $\displaystyle C_{n-1}$을 얻었다고 하자. 그러면 포물선 위의 점 $\displaystyle (x_n,y_n)$ (단, $\displaystyle 0<x_n<x_{n-1}$)을 중심으로 하고 $\displaystyle x$축에 접하며 $\displaystyle C_{n-1}$과 한 점에서 만나는 원 $\displaystyle C_n$을 계속하여 얻을 수 있다.(1) 원 $\displaystyle C_2$의 중심의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_2$를 구하라.(2) 101번째 원 $\displaystyle C_{101}$의 중심의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_{101}$을 구하라.(3) 원 $\displaystyle C_n$의 넓이를 $\displaystyle S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4S_n$의 값을 구하라.