자연계열 2번

[문제 2-1] (10점)식 ㉠을 이용하면$\displaystyle \sin\theta=\frac tr=\frac t{\sqrt{(a-s)^2+t^2}}=\frac t{\sqrt{(2st)^2+t^2}}=\frac1{\sqrt{4s^2+1}}$이고 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\sin\theta=\lim_{s\to0^+}\frac1{\sqrt{4s^2+1}}=1$이 된다.

$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이고 $\displaystyle 1=\sin\frac\pi2$이므로 사인함수의 연속성에 의하여 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\theta=\frac\pi2$이다.

[문제 2-2] (20점)(1) 점 $\displaystyle (s,t)$와 점 $\displaystyle (a,0)$사이의 거리가 원의 반지름 $\displaystyle r$이다. 이와 함께 식 ㉠과 점 $\displaystyle (s,t)$가 포물선 위에 있다는 것을 이용하면 식$\displaystyle r=t\sqrt{4s^2+1}=s^2\sqrt{4s^2+1}$을 얻는다.

위 식과 식 $\displaystyle 2s^3+s=a$를 이용하면$\displaystyle \frac{a^n}r=\frac{(2s^3+s)^n}{s^2\sqrt{4s^2+1}}$의 식을 얻게 된다.

(2) $\displaystyle n$에 따라 다음의 극한을 관찰할 수 있다.$\displaystyle n=0;$　 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{a^0}r=\lim_{s\to0^+}\frac1{s^2\sqrt{4s^2+1}}=\infty$.

$\displaystyle n=1;$　 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac ar=\lim_{s\to0^+}\frac{2s^3+s}{s^2\sqrt{4s^2+1}}=\lim_{s\to0^+}\frac{2s^2+1}{s\sqrt{4s^2+1}}=\infty$.

$\displaystyle n=2;$　 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{a^2}r=\lim_{s\to0^+}\frac{(2s^3+s)^2}{s^2\sqrt{4s^2+1}}=\lim_{s\to0^+}\frac{(2s^2+1)^2}{\sqrt{4s^2+1}}=1$.

$\displaystyle n\ge3;$　 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{a^n}r=\lim_{s\to0^+}\frac{(2s^3+s)^n}{s^2\sqrt{4s^2+1}}=\lim_{s\to0^+}\frac{(2s^2+1)^n s^{n-2}}{\sqrt{4s^2+1}}=0$.따라서 문제에서 구하는 답은 2이상의 정수가 된다.

[문제 2-3] (20점)(1) 관찰을 통해 $\displaystyle S=(a-s)t+2\int_0^s x^2\,dx$임을 알 수 있다.

따라서, 식 ㉠과 점 $\displaystyle (s,t)$가 포물선 위에 있다는 것에 의하여 식$\displaystyle S=(2st)t+\frac23s^3=2s^5+\frac23s^3$을 얻는다.

(2) 부채꼴의 넓이의 공식을 이용하면 $\displaystyle T=r^2\theta=s^4(4s^2+1)\theta$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\theta=\frac\pi2$를 이용하면$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac TS=\lim_{s\to0^+}\frac{s(4s^2+1)}{2s^2+\frac23}\lim_{a\to0^+}\theta=0$의 극한값을 얻게 된다.