의학계 1번

[문제 1-1] (25점)(1) $\displaystyle g(t)=\sin\left(\frac nl t\right)$를 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac nl\cos\left(\frac nl t\right)$를 얻는다.

이것을 제곱하고 $\displaystyle \cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}2$를 이용하면$\displaystyle |g^{\prime}(t)|^2=\frac12\left(\frac nl\right)^2\left(1+\cos\left(\frac{2n}l t\right)\right)$이다.

따라서$\displaystyle E=\int_0^{2\pi}|g^{\prime}(t)|^2\,dt=\frac12\left(\frac nl\right)^2\left\{2\pi+\frac l{2n}\sin\left(\frac{2n}l2\pi\right)\right\}=\left(\frac nl\right)^2\pi+\frac n{4l}\sin\left(\frac{4n\pi}l\right)$이다.

(2) 다음과 같은 세 가지 경우를 고려하면 된다.1) $\displaystyle \frac nl<1$$\displaystyle \sin\theta\le1$을 이용하면$\displaystyle E=\left(\frac nl\right)^2\pi+\frac n{4l}\sin\left(\frac{4n\pi}l\right)\le\left(\frac nl\right)^2\pi+\frac n{4l}<\left\{\left(\frac nl\right)^2+\frac14\frac nl\right\}\pi$를 관찰할 수 있다. 이와 관련하여 함수 $\displaystyle h(t)=t^2+\frac14t$를 정의하자. $\displaystyle h(t)$는 모든 $\displaystyle t>0$에 대하여 증가함수이다. $\displaystyle \frac nl<1$을 만족하는 순서쌍 중에서 $\displaystyle \frac nl$값이 최대가 되는 경우는 $\displaystyle (n,l)=(5,6)$인 경우이다. $\displaystyle h\left(\frac56\right)<1$이므로, $\displaystyle \frac nl<1$인 모든 순서쌍 $\displaystyle (n,l)$에 대하여 $\displaystyle E<\pi$이다.

2) $\displaystyle \frac nl\ge1$이고, $\displaystyle \frac nl$이 자연수이거나 기약분수로 표현했을 때 $\displaystyle \frac a2$ 또는 $\displaystyle \frac a4$꼴인 경우$\displaystyle \sin\left(\frac{4n\pi}l\right)=0$이기 때문에 부등식$\displaystyle E=\left(\frac nl\right)^2\pi+\frac n{4l}\sin\frac{4n\pi}l=\left(\frac nl\right)^2\pi\ge\pi$이 성립한다.

3) $\displaystyle \frac nl\ge1$이고, $\displaystyle \frac nl$을 기약분수로 표현했을 때 $\displaystyle \frac a3$ 또는 $\displaystyle \frac a5$꼴인 경우이 경우에는 가능한 순서쌍이 다음 세 가지뿐이다.$\displaystyle (n,l)=(4,3),(5,3),(6,5)$$\displaystyle -1\le\sin\theta$를 이용하면, 위의 각 경우에 대해 해당하는 $\displaystyle E$에 대한 다음 부등식을 관찰할 수 있다.$\displaystyle (n,l)=(4,3):\ E=\left(\frac43\right)^2\pi+\frac13\sin\frac{16\pi}3>\frac{16}9\pi-\frac13=\pi+\frac79\pi-\frac13>\pi$$\displaystyle (n,l)=(5,3):\ E=\left(\frac53\right)^2\pi+\frac5{12}\sin\frac{20\pi}3>\frac{25}9\pi-\frac5{12}=\pi+\frac{16}9\pi-\frac5{12}>\pi$$\displaystyle (n,l)=(6,5):\ E=\left(\frac65\right)^2\pi+\frac3{10}\sin\frac{24\pi}5>\frac{36}{25}\pi-\frac3{10}=\pi+\frac{11}{25}\pi-\frac3{10}>\pi$그러므로 답은 $\displaystyle \frac nl\ge1$을 만족하는 모든 순서쌍 $\displaystyle (n,l)$이다.

[문제 1-2] (25점)(1) $\displaystyle \mathrm{A}(0,f(0))$부터 점 $\displaystyle (s,f(s))$ 사이의 곡선의 길이를 $\displaystyle G(s)$라 하면, $\displaystyle s\ge0$일때$\displaystyle \begin{aligned}G(s)&=\int_0^s\sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}\,dx=\int_0^s\sqrt{1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)^2}\,dx\\&=\int_0^s\frac{e^x+e^{-x}}2\,dx=\frac{e^s-e^{-s}}2\end{aligned}$이고, $\displaystyle s\le0$이면$\displaystyle G(s)=\frac{e^{-s}-e^s}2$이다. 특히 $\displaystyle \mathrm{A}(0,f(0))$부터 $\displaystyle \mathrm{B}(1,f(1))$까지 곡선의 길이와 $\displaystyle \mathrm{A}(0,f(0))$부터 $\displaystyle \mathrm{C}(-1,f(-1))$까지 곡선의 길이는 모두 $\displaystyle \frac{e-e^{-1}}2$이다.

$\displaystyle 0\le t\le2\pi$일 때, $\displaystyle 0\le\frac nl t\le\frac{2n\pi}l$이며 $\displaystyle \frac nl t$가 0부터 시작하여 $\displaystyle \frac\pi2$만큼 변할 때마다 점 Q는 A와 B 사이 또는 A와 C사이의 곡선을 지난다. $\displaystyle \frac{\frac nl2\pi}{\frac\pi2}=\frac{4n}l$이기 때문에, $\displaystyle k\le\frac{4n}l<k+1$인 정수 $\displaystyle k$에 대하여, $\displaystyle k$는 점 Q가 A와 B사이 또는 A와 C사이의 곡선을 온전하게 이동하는 총 회수를 의미한다. $\displaystyle k$를 4로 나눈 나머지를 $\displaystyle a$라 하자.- $\displaystyle a=0$인 경우: Q는 점 A에 있거나 점 A에서 점 B로 가던 중 멈춘다. 따라서$\displaystyle L=\frac{e-e^{-1}}2k+\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2$.- $\displaystyle a=1$인 경우: Q는 점 B에 있거나 점 B에서 점 A로 가던 중 멈춘다.$\displaystyle L=\frac{e-e^{-1}}2k+\frac{e-e^{-1}}2-\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2=\frac{e-e^{-1}}2(k+1)-\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2$.- $\displaystyle a=2$인 경우: Q는 점 A에 있거나 점 A에서 점 C로 가던 중 멈춘다.$\displaystyle L=\frac{e-e^{-1}}2k+\frac{e^{-\sin\frac{2n\pi}l}-e^{\sin\frac{2n\pi}l}}2=\frac{e-e^{-1}}2k-\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2$.- $\displaystyle a=3$인 경우: Q는 점 C에 있거나 점 C에서 A로 가던 중 멈춘다.$\displaystyle L=\frac{e-e^{-1}}2k+\frac{e-e^{-1}}2-\frac{e^{-\sin\frac{2n\pi}l}-e^{\sin\frac{2n\pi}l}}2=\frac{e-e^{-1}}2(k+1)+\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2$.

한편 $\displaystyle n,l$은 주사위의 눈의 수이므로 나올 수 있는 $\displaystyle k$값은 관찰을 통해$\displaystyle k=0,1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24$임을 알 수 있다.

따라서 답은 다음과 같다.$\displaystyle L=\begin{cases}\frac{e-e^{-1}}2k+(-1)^{\frac k2}\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2&(k=0,2,4,6,8,10,12,16,20,24)\\\frac{e-e^{-1}}2(k+1)+(-1)^{\frac{k+1}2}\frac{e^{\sin\frac{2n\pi}l}-e^{-\sin\frac{2n\pi}l}}2&(k=1,3,5)\end{cases}$

(2) $\displaystyle \frac nl$이 클수록 점 Q의 이동량과 $\displaystyle L$이 증가한다.

$\displaystyle \frac nl=\frac12$일 때 점 Q는 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,1)$에서 출발하여 점 $\displaystyle \mathrm{B}(1,f(1))$를 거쳐 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,1)$로 되돌아 오면서 이동을 끝낸다. 이때 $\displaystyle L=e-e^{-1}$이다.

따라서, $\displaystyle L\ge e-e^{-1}$을 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (n,l)$은 $\displaystyle 2n\ge l$을 만족하는 모든 순서쌍 $\displaystyle (n,l)$이다.