자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1] (20점)(1) $\displaystyle a_2\le2a_1$이고, $\displaystyle n\ge3$이면 $\displaystyle a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\le2a_{n-1}$이다. 그러므로$\displaystyle a_n\le2a_{n-1},\quad(n\ge2)$　……㉠이 성립한다.$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle a_1=2$이므로 $\displaystyle \frac32\le a_1\le2$이 성립한다.

$\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle a_2=3$이므로 $\displaystyle \left(\frac32\right)^2\le a_2\le2^2$이 성립한다.

$\displaystyle k\ge2$이라 하자. 주어진 부등식이 $\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 가정하고 $\displaystyle n=k+1$일 때 성립함을 증명한다. ㉠을 이용하면 다음이 성립함을 알 수 있다.$\displaystyle a_{k+1}\le2a_k\le2\times2^k=2^{k+1}$

한편 ㉠을 이용하면, $\displaystyle 3a_k=2a_k+a_k\le2a_k+2a_{k-1}=2(a_k+a_{k-1})=2a_{k+1}$이다. 즉, $\displaystyle a_{k+1}\ge\frac32a_k$이다. 따라서$\displaystyle a_{k+1}\ge\frac32a_k\ge\frac32\left(\frac32\right)^k\ge\left(\frac32\right)^{k+1}$이 성립한다.

(2) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}\ge a_n$이므로 $\displaystyle A\ge1$이다. 관계식 $\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$의 양변을 $\displaystyle a_{n+1}$로 나누면$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=1+\frac{a_n}{a_{n+1}}$을 얻는다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=A$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac1A$이므로 위의 식의 양변에서 $\displaystyle n$을 무한대로 보내면 $\displaystyle A=1+\frac1A$이 된다. 즉 $\displaystyle A^2-A-1=0$. 그러므로 $\displaystyle A$는 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 근이다.

이 방정식의 두 근은 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt5}2$인데, $\displaystyle A\ge1$이므로 $\displaystyle A=\frac{1+\sqrt5}2$이다.

[문제 1-2] (30점)(1) 길이 $\displaystyle (n+3)$이며 조건 (ㄴ)을 만족하는 모스부호의 첫 번째와 두 번째 신호에 따라 경우를 나누어 생각한다.(a) 첫 번째 신호가 S인 경우: 2번째부터 $\displaystyle (n+3)$번째까지 신호로 이루어진 모스부호는 길이가 $\displaystyle (n+2)$이며 조건 (ㄴ)을 만족하므로 이 경우의 모스부호 개수는 $\displaystyle b_{n+2}$이다.

(b) 첫 번째 신호는 L이고, 두 번째 신호는 S인 경우: 3번째부터 $\displaystyle (n+3)$번째까지 신호로 이루어진 모스부호는 길이가 $\displaystyle (n+1)$이며 조건 (ㄴ)을 만족하므로 이 경우의 모스부호 개수는 $\displaystyle b_{n+1}$이다.

(c) 첫 번째 신호와 두 번째 신호가 모두 L인 경우: 3번째 신호는 자동적으로 S이다. 그리고 4번째부터 $\displaystyle (n+3)$번째까지 신호로 이루어진 모스부호는 길이가 $\displaystyle n$이며 조건 (ㄴ)을 만족하므로 이 경우의 모스부호 개수는 $\displaystyle b_n$이다.

세 가지 경우의 개수를 모두 합하여 관계식$\displaystyle b_{n+3}=b_{n+2}+b_{n+1}+b_n$을 얻는다.

(2) 문제 (1)에서 얻은 관계식의 양변을 $\displaystyle b_n$으로 나누면 $\displaystyle \frac{b_{n+3}}{b_n}=\frac{b_{n+2}}{b_n}+\frac{b_{n+1}}{b_n}+1$이 된다. 그런데$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+3}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+3}}{b_{n+2}}\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}\frac{b_{n+1}}{b_n}=B^3,\ \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+2}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}\frac{b_{n+1}}{b_n}=B^2$이다. 따라서 위의 관계식에서 $\displaystyle n$을 무한대로 보내어 $\displaystyle B^3=B^2+B+1$을 얻는다. 이제 $\displaystyle f(x)=x^3-x^2-x-1$라 놓으면 $\displaystyle B$는 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 근이다.

$\displaystyle f(x)$의 증감을 조사하면 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 $\displaystyle x$축과 한 번 만난다는 사실을 알 수 있다.

그런데 $\displaystyle f\left(\frac32\right)=-\frac{11}8<0$이고 $\displaystyle f(2)=1>0$이므로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac32<B<2$이 증명된다.