자연계열 1번

제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \sin A=\frac{a}{2R},\quad\sin B=\frac{b}{2R}$이고, 제시문 (ㄴ)에 의해 $\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$이다.따라서, 제시문 (ㄷ)의 조건은$\displaystyle 2\sin A\cos C=\sin B\quad\Leftrightarrow\quad2\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{b}{2R}$이므로 $\displaystyle a^2=c^2$이다.

$\displaystyle a,\;b,\;c$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 변의 길이이므로 $\displaystyle a=c$이고 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 $\displaystyle A=C$인 이등변삼각형이다.

논제 1에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=a$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac12a^2\sin B$이 $\displaystyle \frac{S}{\overline{\mathrm{AB}}^2}=\frac12\sin B$이다.

한편, $\displaystyle 0<A<\pi$이므로 $\displaystyle \frac12\sin B$는 $\displaystyle B=\frac\pi2$에서 최댓값 $\displaystyle \frac12$을 갖는다. 따라서 구하고자 하는 $\displaystyle \frac{S}{\overline{\mathrm{AB}}^2}$의 최댓값 $\displaystyle M$은 $\displaystyle \frac12$이다.Correction. 이 문장의 각의 범위 $\displaystyle 0<A<\pi$는 $\displaystyle 0<B<\pi$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.