자연계열 2번

확률변수 $\displaystyle X$가 갖는 값이 $\displaystyle 1,\;2$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=p$라고 하면$\displaystyle \mathrm{E}(X)=1\times p+2\times(1-p)=2-p$이다.

$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac74$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=p=\frac14$이다.

따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}X&1&2&\text{계}\\\hline\mathrm{P}(X=x)&\frac14&\frac34&1\end{array}$

사건 $\displaystyle A\cap B$와 사건 $\displaystyle A\cap B^c$는 서로 배반사건이고 두 사건의 합사건은 사건 $\displaystyle A$이다.따라서 확률의 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다.$\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A\cap B^c)$

그런데 제시문 (ㄷ)의 첫 번째 조건에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B^c)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)(1-\mathrm{P}(B))$이다.

그런데 논제 1에서 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(X=1)=\frac14$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B^c)=\mathrm{P}(A)(1-\mathrm{P}(B))=\frac35\times\frac34=\frac9{20}$이다.