자연계열 3번

함수 $\displaystyle g(t)=\frac1t$이라고 하면 함수 $\displaystyle g(t)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle g(t)>0$이고 감소하므로, 제시문 (ㄱ)과 (ㄴ)에 의해서$\displaystyle \frac1{n+1}=\left(\frac1{1+\frac1n}\right)\left(1+\frac1n-1\right)<\int_1^{1+1/n}\frac1t\,dt=\ln\left(1+\frac1n\right)<1\times\left(1+\frac1n-1\right)=\frac1n$

따라서$\displaystyle \frac12\leq\frac{n}{n+1}<\ln\left(1+\frac1n\right)^n<1\quad\Rightarrow\quad\sqrt e<\left(1+\frac1n\right)^n<e$.그러므로 제시문 (ㄷ)의 명제 $\displaystyle A$는 참이다.

$\displaystyle f(x)=x^3-\left(1+\frac1n\right)^nx^2+x-e$이라고 하자.(a) 논제 1로부터,$\displaystyle f\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)=\left(1+\frac1n\right)^{3n}-\left(1+\frac1n\right)^{3n}+\left(1+\frac1n\right)^n-e<0$이고$\displaystyle f(e)=e^3-\left(1+\frac1n\right)^ne^2+e-e=e^2\left(e-\left(1+\frac1n\right)^n\right)>0$.따라서 사잇값 정리에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 열린구간 $\displaystyle \left(\left(1+\frac1n\right)^n,e\right)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

(b) $\displaystyle x>e$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-2\left(1+\frac1n\right)^nx+1=x\left(3x-2\left(1+\frac1n\right)^n\right)+1>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (e,\infty)$에서 증가한다. 따라서 $\displaystyle x\geq e$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(x)\geq f(e)>0$.그러므로 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 구간 $\displaystyle (e,\infty)$에서 해를 갖지 않는다.

논제 1과 (a), (b)에 의해서 제시문 (ㄹ)의 수 $\displaystyle a_n$은 다음을 만족한다.$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n<a_n<e$.한편, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=e$.