자연계열 1번

양수 $\displaystyle a,\;b,\;c$에 대해 $\displaystyle y=c\sin(ax)+b$와 $\displaystyle y=a\cos(bx)+c$의 최댓값이 각각 $\displaystyle 9,\;8$이므로$\displaystyle c+b=9$$\displaystyle a+c=8$이다. 두 식을 연립하면 $\displaystyle b=a+1$이고,$\displaystyle \frac{2\pi}{a}+\frac{b}{2\pi}=\frac{2\pi}{a}+\frac{a+1}{2\pi}=\frac{2\pi}{a}+\frac{a}{2\pi}+\frac1{2\pi}$이다.

한편, $\displaystyle a>0$이므로 절대부등식에 의해$\displaystyle \frac{2\pi}{a}+\frac{b}{2\pi}=\frac{2\pi}{a}+\frac{a}{2\pi}+\frac1{2\pi}\geq2\sqrt{\frac{2\pi}{a}\cdot\frac{a}{2\pi}}+\frac1{2\pi}=2+\frac1{2\pi}$이고, 등호가 성립할 조건은 $\displaystyle \frac{2\pi}{a}=\frac{a}{2\pi}$이다. 이를 만족하는 $\displaystyle a=2\pi$이고, 이 때의 $\displaystyle b=2\pi+1>0,\;c=8-a=8-2\pi>0$이므로 $\displaystyle m=2+\frac1{2\pi},\;\alpha=2\pi,\;\beta=2\pi+1$이다.

논제 1에 의해 $\displaystyle \alpha=2\pi,\;\beta=2\pi+1$이므로 $\displaystyle y=\tan(\alpha x-\beta)=\tan(2\pi x-2\pi-1)$의 점근선은 $\displaystyle x=\frac12n+\frac14+\frac1{2\pi}$ ($\displaystyle n$은 정수)이다.

한편, $\displaystyle n\geq0$일 때 $\displaystyle \frac12n+\frac14+\frac1{2\pi}\geq\frac14+\frac1{2\pi}>0$이고, $\displaystyle n\leq-1$일 때 $\displaystyle \frac12n+\frac14+\frac1{2\pi}\leq-\frac14+\frac1{2\pi}<0$이고, $\displaystyle \left|\frac14+\frac1{2\pi}\right|>\left|-\frac14+\frac1{2\pi}\right|$이므로 $\displaystyle p=-\frac14+\frac1{2\pi}$이다.