자연계열 3번

(i) $\displaystyle n=1$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^1x^m(1-x)dx=\int_0^1x^m dx-\int_0^1x^{m+1}dx\\&=\frac1{m+1}-\frac1{m+2}=\frac1{(m+1)(m+2)}=\frac{m!1!}{(m+2)!}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle p(n)$은 성립한다.

(ii) $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle p(n)$이 성립한다고 가정하면$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^1x^m(1-x)^{k+1}dx=\int_0^1x^m(1-x)^k(1-x)dx\\&=\int_0^1x^m(1-x)^k dx-\int_0^1x^{m+1}(1-x)^k dx\\&=\frac{m!k!}{(m+k+1)!}-\frac{(m+1)!k!}{(m+k+2)!}\\&=\frac{m!k!}{(m+k+2)!}(m+k+2-m-1)=\frac{m!(k+1)!}{(m+k+2)!}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다. 따라서, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle p(n)$은 성립한다.

제시문 (ㄴ)의 적분식을 이용하여 제시문 (ㄷ)의 적분을 계산하면,$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^1x^n(1-x)^n\left(1+2\sqrt3\,cx+\frac{27}{10}c^2x^2\right)dx\\&=\int_0^1x^n(1-x)^n dx+2\sqrt3\,c\int_0^1x^{n+1}(1-x)^n dx+\frac{27}{10}c^2\int_0^1x^{n+2}(1-x)^n dx\\&=\frac{n!n!}{(2n+1)!}+2\sqrt3\frac{(n+1)!n!}{(2n+2)!}c+\frac{27}{10}\frac{(n+2)!n!}{(2n+3)!}c^2\\&=\frac{n!n!}{(2n+1)!(2n+3)}\left(2n+3+(2n+3)\sqrt3\,c+\frac{27}{20}(n+2)c^2\right)\end{aligned}$을 얻는다.

따라서 제시문 (ㄷ)의 부등식은 위 괄호안의 $\displaystyle c$에 대한 이차식이 양수이어야 한다는 것과 동치이다.$\displaystyle c^2$항의 계수가 양수이므로, 판별식이 음수가 되어야 한다. 판별식은$\displaystyle \begin{aligned}&3(2n+3)^2-\frac{27}{5}(2n+3)(n+2)\\&=\frac{2n+3}{5}(15(2n+3)-27(n+2))=\frac{2n+3}{5}(3n-9)\end{aligned}$이므로, $\displaystyle n<3$이 되어야 조건을 만족시킨다.

따라서 제시문 (ㄷ)의 집합 $\displaystyle A$는 $\displaystyle \{1,\;2\}$이다.