자연계열 2번

가톨릭대 2022학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2022mo/jayeon_2

[문항 2] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (30점)

(ㄱ) [함수의 극한, 좌극한, 우극한] 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 극한값이 $\displaystyle L$ 이면, 함수의 극한의 정의에 의하여 $\displaystyle x=a$ 에서의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면서 그 값이 모두 $\displaystyle L$ 과 같다. 또, 그 역도 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L$

(ㄴ) [미분계수] 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle a+\Delta x$ 까지 변할 때의 평균변화율은

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

이다. 여기서 $\displaystyle \Delta x\to0$ 일 때 이 평균변화율의 극한값

$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

가 존재하면 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다. 이 때 이 극한값을 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하며 이것을 기호 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 로 나타낸다.

(ㄷ) 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(|x|)-f(0)}x$ 이 존재한다.

(ㄹ) 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(i) 함수 $\displaystyle y=g(|x|)$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 의 값에서 미분가능하다.

(ii) 함수 $\displaystyle y=g(|x|)$ 는 $\displaystyle x=3$ 에서 극솟값 $\displaystyle 6$ 을 가진다.

[논제 1] (15점) 제시문 (ㄷ)의 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점) 제시문 (ㄹ)의 삼차함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle g(1)$ 의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

해설강의 준비중

가톨릭대 2022학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2022mo/jayeon_2

[논제 1] (15점)

+5점

극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(|x|)-f(0)}x$ 이 존재하므로제시문 (ㄱ)에 의해 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(|x|)-f(0)}x$ 과 우극한 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(|x|)-f(0)}x$ 이 모두 존재하고,같은 값을 가진다. 이 때 좌극한은 $\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}x=-\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$ 이고,우극한은 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x$ 이다.

+5점

그런데 $\displaystyle f(x)$ 가 다항함수이므로 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x$ 가 존재하고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x$ 이다.따라서 좌극한은 $\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}x=-\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}=-f^{\prime}(0)$ 이고, 우극한은 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x=f^{\prime}(0)$ 이다.

+5점

그러므로 $\displaystyle -f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$ 이다. 즉, $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ 이다.

[논제 2] (15점)

+5점

함수 $\displaystyle y=g(|x|)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능하므로 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(|x|)-g(0)}x$ 가 존재한다.따라서, 논제 1에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(0)=0$ 이다.그런데, $\displaystyle g(x)$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2+ax$ 이다.즉, $\displaystyle g(x)=x^3+\frac{a}{2}x^2+g(0)$ 이다.

+5점

함수 $\displaystyle y=g(|x|)$ 가 $\displaystyle x=3$ 에서 극솟값을 가지고 $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle g(|x|)=g(x)$ 이므로함수 $\displaystyle y=g(x)$ 도 $\displaystyle x=3$ 에서 극솟값을 가진다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(3)=0$ 이고 $\displaystyle g(3)=6$ 이다. $\displaystyle g^{\prime}(3)=0$ 이므로 $\displaystyle a=-9$ 이다.따라서 $\displaystyle g(x)=x^3-\frac92x^2+g(0)$ 이고, $\displaystyle g(3)=27\left(1-\frac32\right)+g(0)=-\frac{27}{2}+g(0)=6$ 이므로 $\displaystyle g(0)=\frac{39}{2}$ 이다.

+5점

따라서 $\displaystyle g(1)=1-\frac92+\frac{39}{2}=16$ 이다.

1. 기본 사항

가. 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 합산함.

나. 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.

① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점

② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점

2. 세부 사항

가. 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

나. 각 문항 별 채점 기준은 다음과 같다.

첨삭 사례

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