자연계열 2번

극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(|x|)-f(0)}x$이 존재하므로제시문 (ㄱ)에 의해 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(|x|)-f(0)}x$과 우극한 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(|x|)-f(0)}x$이 모두 존재하고,같은 값을 가진다. 이 때 좌극한은$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}x=-\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$이고,우극한은$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x$이다.

그런데 $\displaystyle f(x)$가 다항함수이므로 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x$가 존재하고$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x$이다.따라서 좌극한은$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}x=-\lim_{x\to0-}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}=-f^{\prime}(0)$이고, 우극한은$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(|x|)-f(0)}x=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x=f^{\prime}(0)$이다.

그러므로 $\displaystyle -f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$이다. 즉, $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이다.

함수 $\displaystyle y=g(|x|)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(|x|)-g(0)}x$가 존재한다.따라서, 논제 1에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(0)=0$이다.그런데, $\displaystyle g(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2+ax$이다.즉, $\displaystyle g(x)=x^3+\frac{a}{2}x^2+g(0)$이다.

함수 $\displaystyle y=g(|x|)$가 $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 가지고 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle g(|x|)=g(x)$이므로함수 $\displaystyle y=g(x)$도 $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 가진다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(3)=0$이고 $\displaystyle g(3)=6$이다.$\displaystyle g^{\prime}(3)=0$이므로 $\displaystyle a=-9$이다.따라서 $\displaystyle g(x)=x^3-\frac92x^2+g(0)$이고, $\displaystyle g(3)=27\left(1-\frac32\right)+g(0)=-\frac{27}{2}+g(0)=6$이므로$\displaystyle g(0)=\frac{39}{2}$이다.

따라서 $\displaystyle g(1)=1-\frac92+\frac{39}{2}=16$이다.