자연계열 1번

제시문 (ㄱ)의 조건 (2), (3)에 의해 직선 $\displaystyle y=x-3$과 직선 $\displaystyle y=-x+5$의 교점인 $\displaystyle (4,1)$이 두 점근선의 교점이므로, 점근선은 $\displaystyle x=4,\;y=1$이다.

따라서, 어떤 상수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac{k}{x-4}+1$로 쓸 수 있고, 제시문 (ㄱ)의 조건 (1)에 의해 $\displaystyle 2=f(13)=\frac{k}{13-4}+1$을 만족하므로 $\displaystyle k=9$임을 알 수 있다.따라서, $\displaystyle f(x)=\frac9{x-4}+1=\frac{x+5}{x-4}$이고, $\displaystyle a=-4,\;b=1,\;c=5$이다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에서 점근선 $\displaystyle y=1$에 내린 수선의 발은 $\displaystyle \mathrm{Q}$, 점근선 $\displaystyle x=4$에 내린 수선의 발은 $\displaystyle \mathrm{R}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=|x-4|,\;\overline{\mathrm{PR}}=|y-1|$이고, $\displaystyle P(x,y)$는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이므로 논제 1에 의해 다음을 만족시킨다.Correction. 거리식에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$에 대응하는 $\displaystyle |x-4|$, $\displaystyle |y-1|$가 서로 바뀌어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle y-1=\frac9{x-4}$

$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$는 양수이므로, 절대부등식에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PR}}=|x-4|+|y-1|=|x-4|+\frac9{|x-4|}\geq2\sqrt{|x-4|\frac9{|x-4|}}=6$이고, 등호조건 $\displaystyle |x-4|=|y-1|=3$을 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$가 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위에 있으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PR}}$의 최솟값은 $\displaystyle 6$이다.