자연계열 3번

$\displaystyle f(1)=g(1)=0$이므로 실수 $\displaystyle a$의 값에 관계없이 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle (x-1)$을 인수로 갖는다.$\displaystyle h(x)=(x-1)(x^2+2x+7-a(2x+1))=(x-1)(x^2+2(1-a)x+7-a)$로 인수분해를 하고, 편의상 $\displaystyle k(x)=x^2+2(1-a)x+7-a$라고 하자. 이제 이차방정식 $\displaystyle k(x)=0$이 $\displaystyle 1$을 근으로 갖지 않으면서 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $\displaystyle a$를 구하면 된다.

1. $\displaystyle k(1)=10-3a\ne0$이므로 $\displaystyle a\ne\frac{10}{3}$이다.2. 판별식 $\displaystyle (1-a)^2-7+a=a^2-a-6=(a+2)(a-3)$이 양수이므로 $\displaystyle a<-2$ or $\displaystyle a>3$이다.따라서, $\displaystyle A=\left\{a\;\middle|\;a<-2\text{ or }3<a<\frac{10}{3}\text{ or }\frac{10}{3}<a\right\}$이다.

논제 1에 의해 방정식 $\displaystyle h(x)=0$이 중근을 갖도록 하는 실수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle -2,\;3,\;\frac{10}{3}$ 이렇게 세 개가 있다. $\displaystyle a=-2$이면, $\displaystyle \alpha=-3,\;\beta=1$이고, $\displaystyle a=3$이면 $\displaystyle \alpha=1,\;\beta=2$이고, $\displaystyle a=\frac{10}{3}$이면 $\displaystyle \alpha=1,\;\beta=\frac{11}{3}$이다.

우선 $\displaystyle \int_1^2|g(x)|dx<\int_1^{11/3}|g(x)|dx$임은 당연하다. $\displaystyle g(x)=(x-1)(2x+1)$이므로 $\displaystyle x>1$ 혹은 $\displaystyle x<-\frac12$이면 $\displaystyle |g(x)|=g(x)$이다.

또한, 이차함수가 축에 대하여 대칭이라는 사실과 $\displaystyle -\frac12-(-3)>2-1$이라는 사실로부터 $\displaystyle \int_{-3}^1|g(x)|dx>\int_{-3}^{-1/2}|g(x)|dx>\int_1^2|g(x)|dx$임을 알 수 있다. 따라서 최솟값은$\displaystyle \int_1^2|g(x)|dx=\int_1^2(2x^2-x-1)dx=\frac23\times(8-1)-\frac12\times(4-1)-1=\frac{13}{6}$이다.