자연계열 2번

제시문 (ㄱ)에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수는$\displaystyle f^{\prime}(x)=(-1)^n(3x^2-6x+3-12n^4)$이고 인수분해하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=3(-1)^n(x-(1-2n^2))(x-(1+2n^2))$이다.

이 때 $\displaystyle 1-2n^2<1+2n^2$이므로, $\displaystyle n$이 홀수이면 최고차항이 음수가 되어 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1+2n^2$에서 극대이고, $\displaystyle n$이 짝수이면 최고차항이 양수가 되어 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1-2n^2$에서 극대이다.그러므로 일반항은 $\displaystyle a_n=1-2(-1)^nn^2$이다.

$\displaystyle a_n$은 $\displaystyle n$이 홀수일 때 $\displaystyle 1+2n^2$이고 $\displaystyle n$이 짝수일 때 $\displaystyle 1-2n^2$이므로

$\displaystyle S$는 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}S&=\sum_{n=1}^{10}(1-2(-1)^nn^2)=10+2\sum_{k=1}^5((2k-1)^2-(2k)^2)\\&=10+2\sum_{k=1}^5(-4k+1)=20-8\times\frac{5\times6}{2}=-100\end{aligned}$