자연계열 1번

$\displaystyle \sin(A+C)=\sin(\pi-B)=\sin B$이므로$\displaystyle 4\sin B\sin(A+C)=3\quad\Leftrightarrow\quad4\sin B\sin B=3\quad\Rightarrow$$\displaystyle \sin B=\frac{\sqrt3}{2}\;(\because B<\pi)$이고, 주어진 원의 반지름이 $\displaystyle R=2$이므로 사인법칙에 의해,$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}=2R=4\quad\Leftrightarrow\quad\overline{\mathrm{AC}}=4\sin B=2\sqrt3$이다.

원의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}$에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}$의 밑변 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}$의 높이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}$는 피타고라스 정리에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}^2=\overline{\mathrm{AO}}^2-\overline{\mathrm{AH}}^2=1\quad\Leftrightarrow\quad\overline{\mathrm{OH}}=1$제시문 (ㄴ)에 의해 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}$의 넓이의 $\displaystyle 3$배이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 높이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}$의 높이의 $\displaystyle 3$배인 $\displaystyle 3$이어야 하고 원의 반지름이 $\displaystyle 2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 수직 이등분선이 원과 만나는 점이어야 한다.

따라서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$는 높이가 $\displaystyle 3$인 정삼각형이므로 구하고자 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle 6\sqrt3$이다.