자연계열 2번

$\displaystyle h(x)=f(x)-x$라 하자.$\displaystyle h(0)=f(0)-0=0$이고 방정식 $\displaystyle h(x)=f(x)-x=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle 2$이므로 $\displaystyle h(x)=x^2(x-\alpha)$ 또는 $\displaystyle h(x)=x(x-\alpha)^2$이다. (단, $\displaystyle \alpha\ne0$)

1) $\displaystyle h(x)=x^2(x-\alpha)$인 경우:$\displaystyle f(x)=x^2(x-\alpha)+x$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-2\alpha x+1$이다.따라서 $\displaystyle 1=f^{\prime}(1)=4-2\alpha$, 즉 $\displaystyle \alpha=\frac32$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-3x+1$에서 $\displaystyle D/4=9-12<0$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 즉 $\displaystyle f(x)$는 극값을 갖지 않는다.Correction. 판별식 표기의 $\displaystyle D/4$는 $\displaystyle D$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2) $\displaystyle h(x)=x(x-\alpha)^2$인 경우:$\displaystyle f(x)=x(x-\alpha)^2+x$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-4\alpha x+\alpha^2+1$이다.따라서 $\displaystyle 1=f^{\prime}(1)=\alpha^2-4\alpha+4$, 즉 $\displaystyle (\alpha-1)(\alpha-3)=0$이다.(i) $\displaystyle \alpha=1$인 경우:$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-4x+2$에서 $\displaystyle D/4=4-6<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 극값을 갖지 않는다.(ii) $\displaystyle \alpha=3$인 경우:$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-12x+10$에서 $\displaystyle D/4=36-30>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 극값을 가진다.따라서 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+10x$이다.

제시문 (ㄴ)의 함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하므로$\displaystyle \lim_{x\to a-}g(x)=\lim_{x\to a+}g(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim_{x\to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$이다.$\displaystyle \lim_{x\to a-}g(x)=f(a),\;\lim_{x\to a+}g(x)=f(a+b),\;f(a)=f(a+b)$이므로 이고,$\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime}(a),$$\displaystyle \lim_{x\to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim_{x\to a+}\frac{f(x+b)-f(a+b)}{(x+b)-(a+b)}=f^{\prime}(a+b)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(a+b)$이다.

이차 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(a)$의 서로 다른 두 실근이 $\displaystyle a,a+b$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-12x+10$이므로 근과 계수의 관계로 부터 두 근 $\displaystyle a,a+b$의 합은 $\displaystyle 2a+b=4$, 즉 $\displaystyle a+b=4-a$이다.그런데 $\displaystyle b$가 양수이므로 $\displaystyle a<a+b=4-a$, 즉 $\displaystyle a<2$이다.$\displaystyle f(x)-f(a)=(x-a)(x^2+(a-6)x+a^2-6a+10)$이고 $\displaystyle a+b=4-a$가 방정식 $\displaystyle f(x)-f(a)=0$의 한 근이므로 $\displaystyle (4-a)^2+(a-6)(4-a)+a^2-6a+10=0$이다.즉, $\displaystyle a^2-4a+2=0$이므로 $\displaystyle a=2\pm\sqrt2$이다. $\displaystyle a<2$이므로 $\displaystyle a=2-\sqrt2$이고 $\displaystyle b=4-2a=2\sqrt2$이다.따라서 $\displaystyle a=2-\sqrt2,\;b=2\sqrt2$이다.