자연계열 3번

수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 공차를 $\displaystyle d_1$, 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 공차를 $\displaystyle d_2$라고 하면, $\displaystyle S_n$이 $\displaystyle n=19$일 때 최댓값을 가지므로 $\displaystyle d_2$는 양수가 아님을 알 수 있다.또한 $\displaystyle c_1$이 음수이므로, $\displaystyle d_1$이 양수가 아니면 모든 $\displaystyle c_n$이 음수이므로 $\displaystyle S_n$은 $\displaystyle n=1$일 때 최댓값을 가지게 되어 모순이 된다. 따라서 $\displaystyle d_1>0,\;d_2\leq0$이고 $\displaystyle c_{16}=c_{17}+6$에서 $\displaystyle d_2=-6,\;K\leq16$임을 알 수 있다.

또한 $\displaystyle S_n$이 $\displaystyle n=19$일 때 최댓값을 가지므로 $\displaystyle c_{19}\geq0,\;c_{20}\leq0$을 만족한다. 만일 $\displaystyle K\leq11$이라고 하면, $\displaystyle 0\leq c_{19}=c_{11}+(19-11)d_2$에서 $\displaystyle c_K\geq c_{11}\geq48$을 만족하고 $\displaystyle c_1=-20$이므로$\displaystyle S_K=\frac{K(-20+c_K)}{2}\geq\frac{K(-20+48)}{2}>0$이고,$\displaystyle K\leq k\leq11$일 때 $\displaystyle c_k\geq c_{11}$이므로 $\displaystyle S_{11}\geq S_K>0$이 되어 모순이다.따라서 $\displaystyle K>11$이고$\displaystyle S_{11}=\frac{11(-40+10d_1)}{2}=0$으로부터$\displaystyle d_1=4$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle c_7=-20+6d_1=4$이다.

논제 1로 부터 $\displaystyle c_1,\cdots,c_K$는 공차가 $\displaystyle 4$인 등차수열을 이루고, $\displaystyle c_K,c_{K+1},\cdots$은 공차가 $\displaystyle -6$인 등차수열을 이루므로 $\displaystyle n\geq K$를 만족하는 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}c_n&=c_K+(n-K)d_2\\&=-20+4(K-1)-6(n-K)\\&=-24+10K-6n\end{aligned}$이다.

$\displaystyle c_{19}\geq0,\;c_{20}\leq0$이므로$\displaystyle K\geq13.8,\;K\leq14.4$따라서 $\displaystyle K=14$이다.

이때$\displaystyle \begin{aligned}S_{19}&=S_{13}+(S_{19}-S_{13})\\&=\frac{13\times(-40+4\times12)}{2}+\frac{6\times(64+5\times(-6))}{2}\\&=52+102=154\end{aligned}$