자연계열 3번

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$이라고 하면 $\displaystyle 2R=25$이다.사인법칙과 코사인법칙인 $\displaystyle \sin A=\frac{a}{2R}$, $\displaystyle \sin B=\frac{b}{2R}$, $\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$를 적용하면제시문 (ㄱ)의 (나) $\displaystyle \sin A=2\sin B\cos C$ 조건에 의해 $\displaystyle \frac{a}{2R}=\frac{2b}{2R}\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})}{2ab}$,즉 $\displaystyle b=c$임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다.

네 점 $\displaystyle \mathrm{A,B,C,D}$가 한 원 위에 있으므로 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 외접원 위에 있다.선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 수직이등분선이 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나므로, 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 수직이등분선으로써 외접원의 중심을 지난다.따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$가 외접원의 지름이고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$는 각 $\displaystyle \angle\mathrm{ACD}$가 직각인 삼각형이다.$\displaystyle \angle\mathrm{ACD}=\theta=\frac{\pi}{2}$이고, $\displaystyle \cos\theta=0$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 수직이등분선이므로 교점 $\displaystyle \mathrm{M}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CM}}=\overline{\mathrm{BM}}=12$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$는 각 $\displaystyle \angle\mathrm{ACD}$가 직각인 삼각형이고, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$에 내린 수선의 발이 점 $\displaystyle \mathrm{M}$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{DM}}=x$라고 하면 직각삼각형의 성질에 의해 $\displaystyle x^{2}+12^{2}=l^{2}$이고 $\displaystyle 25-x:12=12:x$를 얻는다.

이를 정리하면 $\displaystyle x^{2}-25x+144=0$이므로 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 9$ 또는 $\displaystyle 16$이다. 따라서 $\displaystyle l$의 값은 $\displaystyle 15$ 또는 $\displaystyle 20$이다.