자연계열 Ⅳ-1번

(1) 속도는 거리/시간의 관계이므로, A와 F를 잇는 도로의 평균제한최고속도는 A에서 F까지 자동차를 이 속도로 운행할 때 소요되는 시간이, 각 구간의 제한최고속도로 운행할 때 소요되는 시간과 같아지는 속도를 의미한다. 다른 의미에서, 평균제한최고속도는 자동차를 A에서 F까지 각 구간의 제한최고속도로 운행한다고 할 때, A에서 F까지의 거리를 총소요시간으로 나눈 것이다. 각 구간의 길이를 n이라 하면, 각 구간에서 소요된 시간은 각각 $\displaystyle \frac{n}{60},\frac{n}{40},\frac{n}{30},\frac{n}{80},\frac{n}{90}$ 이므로, A에서 F까지 소요 된 시간은

$\displaystyle \frac{n}{60}+\frac{n}{40}+\frac{n}{30}+\frac{n}{80}+\frac{n}{90}=\frac{71n}{720}$

이다. 따라서 평균제한최고속도는 $\displaystyle \frac{5n}{71n/720}=\frac{3600}{71}$, 약 50.7km/h 이다.

(2) (1)의 과정에서

$\displaystyle \frac{5}{\frac{1}{60}+\frac{1}{40}+\frac{1}{30}+\frac{1}{80}+\frac{1}{90}}=\frac{3600}{71}$

의 관계를 알 수 있고, 따라서 평균제한최고속도는 각 구간 제한속도의 조화평균임을 알 수 있다. 참고로 산술평균 60km/h는 맞지 않는다. 왜냐하면 평균 60km/h로 자동차를 A에서 F까지 운행할 경우, 소요시간은 $\displaystyle \frac{5n}{60}=\frac{60n}{720}$ 으로서 $\displaystyle \frac{71n}{720}$ 보다 작기 때문이다. 마찬가지 이유로 기하평균도 맞지 않는다.