자연계열 Ⅳ-1번

중앙대 2006학년도 수시 자연계열 Ⅳ-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2006su/jayeon_4_1

Ⅳ. 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

평균은 사회현상 또는 과학적 사실에서 얻어지는 데이터를 이용하여 그 현상 또는 사실의 대표적인 성향을 나타낼 때 자주 사용되는 개념이다. 일반적으로 가장 널리 사용되는 평균으로서 산술평균, 기하평균, 조화평균을 들 수 있다. 유한개의 수 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle a_n$ 에 대한 산술평균 $\displaystyle A$ 는 덧셈의 효과를 고려하여

$\displaystyle nA=a_1+a_2+\cdots+a_n$

으로 주어지며 우리가 흔히 평균의 개념으로 인식하는 것이다. 기하평균 $\displaystyle G$ 는 곱셈의 효과를 고려하여 얻어지는 평균의 개념으로서

$\displaystyle G^n=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n$

으로 정의되며, 수 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle a_n$ 이 양수일 때 사용된다. 조화평균 $\displaystyle H$ 는 역수들의 덧셈효과를 고려하여

$\displaystyle \frac{n}{H}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}$

의 공식으로 정의된다. 실생활에서 자연스럽게 대두되는 이들 세 평균은 모든 수가 같은 경우를 제외하면 $\displaystyle H<G<A$ 의 대소 관계가 성립함이 수학적으로 잘 알려져 있지만, 어떤 평균을 적용해야 하는지는 데이터의 성격이나 고려하고자 하는 효과에 따라 다르다고 할 수 있다.

[문제 4-1] 어떤 도시는 두 지점 A와 F를 잇는 도로를 도로의 상태와 주변 시가지에 미치는 소음효과 등을 고려하여, 그림과 같이 간격이 동일한 다섯 개의 구간으로 균등 분할하고, 각 구간의 자동차 최고속도를 각각 시속 60km/h, 40km/h, 30km/h, 80km/h, 90km/h로 제한하였다고 한다.

두 지점 A와 F를 잇는 이 도로의 평균 제한최고속도는 얼마라고 해야 하는지 지문에서 제시한 평균을 적절히 적용하여 설명하시오. (10점)

해설강의 준비중

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(1) 속도는 거리/시간의 관계이므로, A와 F를 잇는 도로의 평균제한최고속도는 A에서 F까지 자동차를 이 속도로 운행할 때 소요되는 시간이, 각 구간의 제한최고속도로 운행할 때 소요되는 시간과 같아지는 속도를 의미한다. 다른 의미에서, 평균제한최고속도는 자동차를 A에서 F까지 각 구간의 제한최고속도로 운행한다고 할 때, A에서 F까지의 거리를 총소요시간으로 나눈 것이다. 각 구간의 길이를 n이라 하면, 각 구간에서 소요된 시간은 각각 $\displaystyle \frac{n}{60},\frac{n}{40},\frac{n}{30},\frac{n}{80},\frac{n}{90}$ 이므로, A에서 F까지 소요 된 시간은

$\displaystyle \frac{n}{60}+\frac{n}{40}+\frac{n}{30}+\frac{n}{80}+\frac{n}{90}=\frac{71n}{720}$

이다. 따라서 평균제한최고속도는 $\displaystyle \frac{5n}{71n/720}=\frac{3600}{71}$ , 약 50.7km/h 이다.

(2) (1)의 과정에서

$\displaystyle \frac{5}{\frac{1}{60}+\frac{1}{40}+\frac{1}{30}+\frac{1}{80}+\frac{1}{90}}=\frac{3600}{71}$

의 관계를 알 수 있고, 따라서 평균제한최고속도는 각 구간 제한속도의 조화평균임을 알 수 있다. 참고로 산술평균 60km/h는 맞지 않는다. 왜냐하면 평균 60km/h로 자동차를 A에서 F까지 운행할 경우, 소요시간은 $\displaystyle \frac{5n}{60}=\frac{60n}{720}$ 으로서 $\displaystyle \frac{71n}{720}$ 보다 작기 때문이다. 마찬가지 이유로 기하평균도 맞지 않는다.

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