중앙대 2006학년도 수시 자연계열 Ⅳ-2번 해설

Ⅳ. 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

평균은 사회현상 또는 과학적 사실에서 얻어지는 데이터를 이용하여 그 현상 또는 사실의 대표적인 성향을 나타낼 때 자주 사용되는 개념이다. 일반적으로 가장 널리 사용되는 평균으로서 산술평균, 기하평균, 조화평균을 들 수 있다. 유한개의 수 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle a_n$ 에 대한 산술평균 $\displaystyle A$ 는 덧셈의 효과를 고려하여

$\displaystyle nA=a_1+a_2+\cdots+a_n$

으로 주어지며 우리가 흔히 평균의 개념으로 인식하는 것이다. 기하평균 $\displaystyle G$ 는 곱셈의 효과를 고려하여 얻어지는 평균의 개념으로서

$\displaystyle G^n=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n$

으로 정의되며, 수 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle a_n$ 이 양수일 때 사용된다. 조화평균 $\displaystyle H$ 는 역수들의 덧셈효과를 고려하여

$\displaystyle \frac{n}{H}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}$

의 공식으로 정의된다. 실생활에서 자연스럽게 대두되는 이들 세 평균은 모든 수가 같은 경우를 제외하면 $\displaystyle H<G<A$ 의 대소 관계가 성립함이 수학적으로 잘 알려져 있지만, 어떤 평균을 적용해야 하는지는 데이터의 성격이나 고려하고자 하는 효과에 따라 다르다고 할 수 있다.

[문제 4-2] 한 국가의 연간 경제성장률은 1년 동안 그 국가경제규모의 실질적인 증가정도를 나타내는 중요한 지표로서, 기준년도 가격 국내총생산(GDP)의 전년 비 증가율로 나타낸다. 예를 들어, 총 GDP가 1,000억 달러인 어떤 국가가 5.3%의 경제성장률을 달성했다고 하면, 1년 후 그 국가의 총 GDP는 $\displaystyle 1,000\times(1+0.053)=1,053$ 억 달러이다. 다음의 도표는 IMF 금융통화위기의 해인 1998년부터 2002년까지 5년 동안 국민의 정부 시기에 우리나라의 경제성장률을 나타낸 통계청의 자료이다.

[한국의 경제성장률 (1998-2002)]
연도	1998	1999	2000	2001	2002
경제성장률	−6.9%	9.5%	8.5%	3.8%	7.0%

한 언론매체의 보도에 의하면, 국민의 정부 시기에 우리나라는 연평균 4.38%의 경제성장을 이루었다고 한다. 이 언론매체가 적용한 산술평균에 대하여 적절성의 여부를 판단하고, 만일 적절하지 않다고 판단될 경우 올바른 평균을 제시하시오. 단, 수치의 정확한 계산을 반드시 할 필요는 없다. (30점)

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(1) 각 연도의 12월 31일을 기준으로 1997년 우리나라의 GDP를 Q억 달러라 하면, 2002년 경제성장률을 고려한 우리나라의 GDP는

$\displaystyle (1-0.069)(1+0.095)(1+0.085)(1+0.038)(1+0.07)Q$

억 달러이다. 1998년부터 2002년까지 연평균 경제성장률을 $\displaystyle m\times100$ %라고 하면, 2002년 우리나라의 GDP는 $\displaystyle (1+m)^5Q$ 억 달러이어야 함으로

$\displaystyle (1-0.069)(1+0.095)(1+0.085)(1+0.038)(1+0.07)=(1+m)^5$

이고, 이 식으로부터 $\displaystyle m$ 을 구할 수 있다. 여기서 $\displaystyle 1+m$ 은

$\displaystyle 1-0.069,\ 1+0.095,\ 1+0.085,\ 1+0.038,\ 1+0.07$

의 기하평균임을 알 수 있다.

(2) 언론매체가 사용한 산술평균 4.38%는

$\displaystyle \frac{-0.069+0.095+0.085+0.038+0.07}{5}=0.0438$

의 퍼센트이다. (1)에서 구한 실제평균 $\displaystyle m$ 과 비교할 때, 지문에서 제시했듯이 모두 같은 수의 경우를 제외하면 기하평균은 항상 산술평균보다 작으므로 $\displaystyle 1+m$ 은

$\displaystyle \frac{(1-0.069)+(1+0.095)+(1+0.085)+(1+0.038)+(1+0.07)}{5}=1+0.0438$

보다 작다. 따라서 $\displaystyle 1+m<1+0.0438$ , 즉 $\displaystyle m$ 은 0.0438보다 작음을 알 수 있고, 언론매체가 적용한 산술평균은 경제성과가 부풀려진 것으로 잘못된 것임을 알 수 있다.

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자연계열 Ⅳ-2번

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