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자연계열 1번

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중앙대 2015학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 단판으로 승부를 가리지만, 무승부일 경우 재시합을 하는 운동 경기가 있다. A팀이 B팀에 승리할 확률은 p\displaystyle p, 패할 확률은 q\displaystyle q, 무승부일 확률은 r\displaystyle r이라고 한다. 단, p>0,q>0,r>0,p+q+r=1\displaystyle p>0,q>0,r>0,p+q+r=1이다. 계속 무승부가 되어 총 경기 횟수가 10경기가 될 때까지 승부가 나지 않을 경우 동전 던지기로 승부를 결정한다고 할 때, 두 팀이 치르게 될 경기 횟수의 기댓값을 r\displaystyle r에 대한 식으로 나타내시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_1

+10점 · 기댓값의 정의를 이용하여 E(X)\displaystyle E(X)를 올바르게 표현한 경우

▶ 확률변수 X\displaystyle X를 A팀이 B팀과 하게 되는 경기 수라고 정의하면, X\displaystyle X가 가질 수 있는 값은 1, 2, …, 10이고 이에 대한 확률을 고려하면 X\displaystyle X의 기댓값 E(X)\displaystyle E(X)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.E(X)=1⋅(p+q)+2⋅r⋅(p+q)+3⋅r2⋅(p+q)+⋯+9⋅r8⋅(p+q)+10⋅{r9⋅(p+q)+r10}=(p+q)⋅{1+2⋅r+3⋅r2+⋯+10⋅r9}+10⋅r10=(p+q)⋅S+10⋅r10\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=1\cdot(p+q)+2\cdot r\cdot(p+q)+3\cdot r^2\cdot(p+q)+\cdots+9\cdot r^8\cdot(p+q)+10\cdot\{r^9\cdot(p+q)+r^{10}\}\\&=(p+q)\cdot\{1+2\cdot r+3\cdot r^2+\cdots+10\cdot r^9\}+10\cdot r^{10}\\&=(p+q)\cdot S+10\cdot r^{10}\end{aligned}

▶ 여기서 S=1+2⋅r+3⋅r2+⋯+10⋅r9\displaystyle S=1+2\cdot r+3\cdot r^2+\cdots+10\cdot r^9로 정의하고, X=10\displaystyle X=10인 확률은 9번 무승부 후 10번째 승부가 나는 경우와 10번 모두 무승부가 되는 경우를 모두 고려해야 한다.

+10점 · E(X)\displaystyle E(X)의 식으로부터 이에 대한 계산을 올바르게 한 경우

▶ S\displaystyle S의 계산은 r⋅S\displaystyle r\cdot S를 구하여 빼주면 다음과 같다.(1−r)⋅S=1+r+r2+⋯+r9−10⋅r10=1−r101−r−10⋅r10\displaystyle \begin{aligned}(1-r)\cdot S&=1+r+r^2+\cdots+r^9-10\cdot r^{10}\\&=\frac{1-r^{10}}{1-r}-10\cdot r^{10}\end{aligned}

▶ p+q+r=1\displaystyle p+q+r=1의 조건으로부터 (1−r)⋅S=(p+q)⋅S\displaystyle (1-r)\cdot S=(p+q)\cdot S이기 때문에 E(X)\displaystyle E(X)는 다음과 같다.E(X)=1−r101−r\displaystyle E(X)=\frac{1-r^{10}}{1-r}

▶ 만일 X=10\displaystyle X=10일 확률을 r9\displaystyle r^9으로 놓고 계산해도 동일한 답을 얻을 수 있다.

X\displaystyle X가 갖는 값과 이에 대한 확률에 오류가 있는 경우 각 −3점

계산상 오류는 각 −3점

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