자연계열 1번

▶ 확률변수 $\displaystyle X$를 A팀이 B팀과 하게 되는 경기 수라고 정의하면, $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값은 1, 2, …, 10이고 이에 대한 확률을 고려하면 $\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=1\cdot(p+q)+2\cdot r\cdot(p+q)+3\cdot r^2\cdot(p+q)+\cdots+9\cdot r^8\cdot(p+q)+10\cdot\{r^9\cdot(p+q)+r^{10}\}\\&=(p+q)\cdot\{1+2\cdot r+3\cdot r^2+\cdots+10\cdot r^9\}+10\cdot r^{10}\\&=(p+q)\cdot S+10\cdot r^{10}\end{aligned}$

▶ $\displaystyle S$의 계산은 $\displaystyle r\cdot S$를 구하여 빼주면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}(1-r)\cdot S&=1+r+r^2+\cdots+r^9-10\cdot r^{10}\\&=\frac{1-r^{10}}{1-r}-10\cdot r^{10}\end{aligned}$